विशेष प्रकारचे मॅट्रिक्स. वर्गीकरण मॅट्रिक्स

या विषयात, आम्ही मॅट्रिक्सची संकल्पना, तसेच मॅट्रिक्सचे प्रकार विचारात घेणार आहोत. या विषयात अनेक संज्ञा असल्याने मी त्यात भर घालेन सारांशसामग्री नेव्हिगेट करणे सोपे करण्यासाठी.

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या घटकाची व्याख्या. नोटेशन.

मॅट्रिक्स$m$ पंक्ती आणि $n$ स्तंभ असलेली सारणी आहे. मॅट्रिक्सचे घटक पूर्णपणे वैविध्यपूर्ण स्वरूपाच्या वस्तू असू शकतात: संख्या, चल किंवा, उदाहरणार्थ, इतर मॅट्रिक्स. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ मध्ये 3 पंक्ती आणि 2 स्तंभ आहेत; त्याचे घटक पूर्णांक आहेत. मॅट्रिक्स $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 पंक्ती आणि 4 स्तंभ आहेत.

मॅट्रिक्स लिहिण्याचे वेगवेगळे मार्ग: दर्शवा\ लपवा

मॅट्रिक्स केवळ गोल कंसातच नव्हे तर चौरस किंवा दुहेरी सरळ कंसातही लिहिता येते. खाली वेगवेगळ्या नोटेशनमध्ये समान मॅट्रिक्स आहे:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end(array) \right \Vert $$

उत्पादन $m\times n$ म्हणतात मॅट्रिक्स आकार. उदाहरणार्थ, जर मॅट्रिक्समध्ये 5 पंक्ती आणि 3 स्तंभ असतील, तर एक $5\times 3$ मॅट्रिक्स बोलतो. मॅट्रिक्स $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ चा आकार $3 \times 2$ आहे.

मॅट्रिसेस सहसा लॅटिन वर्णमाला कॅपिटल अक्षरांद्वारे दर्शविले जातात: $A$, $B$, $C$, आणि असेच. उदाहरणार्थ, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. ओळ क्रमांकन वरपासून खालपर्यंत जाते; स्तंभ - डावीकडून उजवीकडे. उदाहरणार्थ, $B$ मॅट्रिक्सच्या पहिल्या पंक्तीमध्ये घटक 5 आणि 3 आहेत आणि दुसऱ्या स्तंभात घटक 3, -87, 0 आहेत.

मॅट्रिक्सचे घटक सहसा लहान अक्षरांनी दर्शविले जातात. उदाहरणार्थ, $A$ मॅट्रिक्सचे घटक $a_(ij)$ द्वारे दर्शविले जातात. दुहेरी निर्देशांक $ij$ मध्ये मॅट्रिक्समधील घटकाच्या स्थितीबद्दल माहिती असते. $i$ ही पंक्तीची संख्या आहे आणि संख्या $j$ ही स्तंभाची संख्या आहे, ज्याच्या छेदनबिंदूवर $a_(ij)$ हा घटक स्थित आहे. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 आणि 37 आणि -9 आणि 0 आणि 9 आणि 97 \\ 1 आणि 2 आणि 3 आणि मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या पंक्ती आणि पाचव्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर 41 आणि 59 आणि 6 \ \ -17 आणि -15 आणि -13 आणि -11 आणि -8 आणि -5 \\ 52 आणि 31 आणि -4 आणि -1 आणि 17 आणि 90 \end(अॅरे) \right)$ घटक $ a_(25) = $59:

त्याचप्रमाणे, पहिल्या पंक्ती आणि पहिल्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर, आपल्याकडे $a_(11)=51$; तिसरी पंक्ती आणि दुसऱ्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर - घटक $a_(32)=-15$ आणि असेच. लक्षात घ्या की $a_(32)$ "एक तीन दोन" म्हणून वाचले जाते परंतु "एक बत्तीस" नाही.

$A$ या मॅट्रिक्सच्या संक्षिप्त पदनामासाठी, ज्याचा आकार $m\times n$ च्या बरोबरीचा आहे, $A_(m\times n)$ हे नोटेशन वापरले जाते. खालील नोटेशन अनेकदा वापरले जाते:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

येथे $(a_(ij))$ हे मॅट्रिक्स $A$ च्या घटकांचे पदनाम सूचित करते, उदा. म्हणते की मॅट्रिक्स $A$ चे घटक $a_(ij)$ म्हणून दर्शविले जातात. विस्तारित स्वरूपात, मॅट्रिक्स $A_(m\times n)=(a_(ij))$ खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) आणि a_(12) आणि \ldots आणि a_(1n) \\ a_(21) आणि a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

चला आणखी एक संज्ञा सादर करूया - समान मॅट्रिक्स.

समान आकाराचे दोन मॅट्रिक्स $A_(m\times n)=(a_(ij))$ आणि $B_(m\times n)=(b_(ij))$ म्हणतात समानजर त्यांचे संबंधित घटक समान असतील, म्हणजे $a_(ij)=b_(ij)$ सर्व $i=\overline(1,m)$ आणि $j=\overline(1,n)$ साठी.

प्रवेशासाठी स्पष्टीकरण $i=\overline(1,m)$: show\hide

एंट्री "$i=\overline(1,m)$" म्हणजे $i$ हे पॅरामीटर 1 वरून m मध्ये बदलते. उदाहरणार्थ, $i=\overline(1,5)$ एंट्री म्हणते की $i$ पॅरामीटर 1, 2, 3, 4, 5 मूल्ये घेते.

तर, मॅट्रिक्सच्या समानतेसाठी, दोन अटी आवश्यक आहेत: आकारांचा योगायोग आणि संबंधित घटकांची समानता. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ मॅट्रिक्सच्या समान नाही $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ कारण मॅट्रिक्स $A$ $3\times 2$ आहे आणि मॅट्रिक्स $B$ आहे $2\ वेळा 2$. तसेच मॅट्रिक्स $A$ मॅट्रिक्स $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right) च्या समान नाही. $ कारण $a_( 21)\neq c_(21)$ (म्हणजे $0\neq 98$). पण मॅट्रिक्स $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ साठी, आम्ही सुरक्षितपणे $A लिहू शकतो =F$ कारण दोन्ही आकार आणि मॅट्रिक्सचे संबंधित घटक $A$ आणि $F$ एकरूप होतात.

उदाहरण #1

$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 आणि -2 आणि 1 \\ 5 आणि 9 आणि -8 \\ -6 आणि 8 आणि 23 \\ 11 आणि -12 आणि मॅट्रिक्सचा आकार निश्चित करा -5 \ \ 4 आणि 0 आणि -10 \\ \end(अॅरे) \right)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ हे घटक कोणत्या समान आहेत ते निर्दिष्ट करा.

या मॅट्रिक्समध्ये 5 पंक्ती आणि 3 स्तंभ आहेत, त्यामुळे त्याचा आकार $5\गुणा 3$ आहे. नोटेशन $A_(5\times 3)$ देखील या मॅट्रिक्ससाठी वापरले जाऊ शकते.

घटक $a_(12)$ पहिल्या पंक्ती आणि दुसऱ्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर आहे, म्हणून $a_(12)=-2$. $a_(33)$ हा घटक तिसऱ्या पंक्ती आणि तिसऱ्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर आहे, म्हणून $a_(33)=23$. $a_(43)$ हा घटक चौथ्या पंक्ती आणि तिसऱ्या स्तंभाच्या छेदनबिंदूवर आहे, म्हणून $a_(43)=-5$.

उत्तर द्या: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

त्यांच्या आकारानुसार मॅट्रिक्सचे प्रकार. मुख्य आणि बाजूचे कर्ण. मॅट्रिक्स ट्रेस.

काही मॅट्रिक्स $A_(m\times n)$ देऊ द्या. जर $m=1$ (मॅट्रिक्समध्ये एका पंक्तीचा समावेश असेल), तर दिलेल्या मॅट्रिक्सला म्हणतात मॅट्रिक्स-पंक्ती. जर $n=1$ (मॅट्रिक्समध्ये एका स्तंभाचा समावेश असेल), तर अशा मॅट्रिक्सला म्हणतात स्तंभ मॅट्रिक्स. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cccc) -1 आणि -2 आणि 0 आणि -9 आणि 8 \end(अॅरे) \right)$ एक पंक्ती मॅट्रिक्स आहे आणि $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(अॅरे) \right)$ - स्तंभ मॅट्रिक्स.

जर $m\neq n$ ही स्थिती $A_(m\times n)$ (म्हणजेच, पंक्तींची संख्या स्तंभांच्या संख्येएवढी नसेल) साठी सत्य असेल, तर अनेकदा असे म्हटले जाते की $A$ एक आयताकृती मॅट्रिक्स आहे. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ चा आकार $2\times 4 आहे $, त्या. 2 पंक्ती आणि 4 स्तंभ आहेत. पंक्तींची संख्या स्तंभांच्या संख्येइतकी नसल्यामुळे, हा मॅट्रिक्स आयताकृती आहे.

जर $m=n$ ही स्थिती $A_(m\times n)$ (म्हणजेच, पंक्तींची संख्या स्तंभांच्या संख्येएवढी असेल) मॅट्रिक्ससाठी सत्य असेल, तर $A$ चा चौरस मॅट्रिक्स असल्याचे म्हटले जाते. $n$ ऑर्डर करा. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(अॅरे) \right)$ हा द्वितीय क्रमाचा चौरस मॅट्रिक्स आहे; $\left(\begin(array) (ccc) -1 आणि -2 आणि 9 \\ 5 आणि 9 आणि 8 \\ 1 आणि 0 आणि 4 \end(अॅरे) \right)$ हा 3रा ऑर्डर स्क्वेअर मॅट्रिक्स आहे. IN सामान्य दृश्यस्क्वेअर मॅट्रिक्स $A_(n\times n)$ खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) आणि a_(12) आणि \ldots आणि a_(1n) \\ a_(21) आणि a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ हे घटक चालू असल्याचे म्हटले जाते मुख्य कर्णमॅट्रिक्स $A_(n\times n)$. या घटकांना म्हणतात मुख्य कर्ण घटक(किंवा फक्त कर्ण घटक). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ हे घटक सुरू आहेत बाजू (दुय्यम) कर्ण; त्यांना म्हणतात दुय्यम कर्ण घटक. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्ससाठी $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( अॅरे) \right)$ आमच्याकडे आहे:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ हे मुख्य कर्ण घटक आहेत; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ हे दुय्यम कर्ण घटक आहेत.

मुख्य कर्ण घटकांची बेरीज म्हणतात त्यानंतर मॅट्रिक्सआणि $\Tr A$ (किंवा $\Sp A$) द्वारे दर्शविले जाते:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्ससाठी $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 आणि -9 आणि 5 आणि 6 \end(अॅरे)\right)$ आमच्याकडे आहे:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

विकर्ण घटकांची संकल्पना नॉन-स्क्वेअर मॅट्रिक्ससाठी देखील वापरली जाते. उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 आणि -2 आणि 9 आणि 1 आणि 7 \\ 5 आणि -9 आणि 8 आणि 0 आणि -6 \\ 1 आणि 0 आणि 4 साठी & - 7 आणि -6 \end(अॅरे) \right)$ मुख्य कर्ण घटक $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ असतील.

त्यांच्या घटकांच्या मूल्यांवर अवलंबून मॅट्रिक्सचे प्रकार.

जर मॅट्रिक्सचे सर्व घटक $A_(m\times n)$ समान असतील तर अशा मॅट्रिक्सला म्हणतात निरर्थकआणि सामान्यतः $O$ या अक्षराने दर्शविले जाते. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 \end(अॅरे) \right)$ हे शून्य मॅट्रिक्स आहेत.

मॅट्रिक्स $A$ च्या काही शून्य नसलेल्या पंक्तीचा विचार करा, म्हणजे. एक स्ट्रिंग ज्यामध्ये कमीत कमी एक शून्य नसलेला घटक असतो. अग्रगण्य घटकशून्य नसलेल्या स्ट्रिंगचे, त्याला पहिले (डावीकडून उजवीकडे मोजणे) शून्य नसलेले घटक म्हणू. उदाहरणार्थ, खालील मॅट्रिक्सचा विचार करा:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \ end(array)\right)$ $

दुसऱ्या ओळीत, चौथा घटक अग्रगण्य असेल, म्हणजे. $w_(24)=12$, आणि तिसऱ्या ओळीत अग्रगण्य घटक दुसरा घटक असेल, उदा. $w_(32)=-9$.

मॅट्रिक्स $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ म्हणतात पाऊल टाकलेजर ते दोन अटी पूर्ण करत असेल तर:

1. शून्य पंक्ती, जर असेल तर, सर्व नॉन-नल पंक्तींच्या खाली स्थित आहेत.
2. शून्य नसलेल्या तारांच्या अग्रगण्य घटकांची संख्या काटेकोरपणे वाढणारा क्रम तयार करते, म्हणजे. जर $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $A$ च्या मॅट्रिक्सच्या शून्य पंक्तींचे अग्रगण्य घटक असतील, तर $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt( k_r)$.

स्टेप मॅट्रिक्सची उदाहरणे:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 आणि 0 आणि 2 आणि 0 आणि -4 आणि 1\\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि -9 आणि 0\\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \ end(array)\right). $$

तुलनेसाठी: मॅट्रिक्स $Q=\left(\begin(array)(cccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(अॅरे)\right)$ हे स्टेप मॅट्रिक्स नाही, कारण स्टेप मॅट्रिक्सच्या व्याख्येतील दुसऱ्या अटीचे उल्लंघन केले आहे. दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ओळीतील अग्रगण्य घटक $q_(24)=7$ आणि $q_(32)=10$ $k_2=4$ आणि $k_3=2$ आहेत. स्टेप मॅट्रिक्ससाठी, $k_2\lt(k_3)$ ही अट पूर्ण करणे आवश्यक आहे, ज्याचे या प्रकरणात उल्लंघन झाले आहे. मी लक्षात घेतो की जर आपण दुसरी आणि तिसरी ओळींची अदलाबदल केली तर आपल्याला एक चरणबद्ध मॅट्रिक्स मिळेल: $\left(\begin(array)(cccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 आणि 0 आणि 0 आणि 7 आणि 9\end(अॅरे)\right)$.

स्टेप मॅट्रिक्स म्हणतात ट्रॅपेझॉइडलकिंवा ट्रॅपेझॉइडल, जर अग्रगण्य घटक $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, i.e. कर्ण घटक आघाडीवर आहेत. सर्वसाधारणपणे, ट्रॅपेझॉइडल मॅट्रिक्स खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) आणि a_(12) आणि \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 आणि a_(22) आणि \ldots आणि a_(2r) आणि \ldots आणि a_(2n)\\ \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots\\ 0 आणि 0 आणि \ldots & a_(rr) आणि \ldots आणि a_(rn)\\ 0 आणि 0 आणि \ldots आणि 0 आणि \ldots आणि 0\\ \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots आणि \ldots\\ 0 & 0 आणि \ldots आणि 0 आणि \ldots आणि 0 \end(अॅरे)\right) $$

ट्रॅपेझॉइडल मॅट्रिक्सची उदाहरणे:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 आणि 0 आणि 2 आणि 0 आणि -4 आणि 1\\ 0 आणि -2 आणि 0 आणि 0 आणि -9 आणि 0\\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \ end(array)\right). $$

चौरस मॅट्रिक्ससाठी आणखी काही व्याख्या देऊ. जर मुख्य कर्णाच्या खाली असलेल्या चौरस मॅट्रिक्सचे सर्व घटक शून्याच्या समान असतील तर अशा मॅट्रिक्सला म्हणतात. वरचा त्रिकोणी मॅट्रिक्स. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(अॅरे) \right)$ - वरचा त्रिकोणी मॅट्रिक्स. लक्षात घ्या की वरच्या त्रिकोणी मॅट्रिक्सची व्याख्या मुख्य कर्णाच्या वर किंवा मुख्य कर्णावर असलेल्या घटकांच्या मूल्यांबद्दल काहीही सांगत नाही. ते शून्य असू शकतात किंवा नसू शकतात, काही फरक पडत नाही. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (ccc) 0 आणि 0 आणि 9 \\ 0 आणि 0 आणि 0\\ 0 आणि 0 आणि 0 \end(अॅरे) \right)$ देखील एक वरचा त्रिकोणी मॅट्रिक्स आहे.

जर मुख्य कर्णाच्या वर स्थित चौरस मॅट्रिक्सचे सर्व घटक शून्याच्या समान असतील तर अशा मॅट्रिक्सला म्हणतात. खालचा त्रिकोणी मॅट्रिक्स. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cccc) 3 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ -5 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 8 आणि 2 आणि 1 आणि 0 \\ 5 आणि 4 आणि 0 आणि 6 \ end(अॅरे) \right)$ - कमी त्रिकोणी मॅट्रिक्स. लक्षात घ्या की खालच्या त्रिकोणी मॅट्रिक्सची व्याख्या खालील घटकांच्या मूल्यांबद्दल किंवा मुख्य कर्णावर काहीही सांगत नाही. ते शून्य असू शकतात किंवा नसू शकतात, काही फरक पडत नाही. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ आणि $\left(\ आरंभ (अॅरे) (ccc) 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0\\ 0 आणि 0 आणि 0 \end(अॅरे) \right)$ हे देखील खालच्या त्रिकोणी मॅट्रिक्स आहेत.

स्क्वेअर मॅट्रिक्स म्हणतात कर्णजर या मॅट्रिक्सचे सर्व घटक जे मुख्य कर्णावर नसतील ते शून्याच्या समान असतील. उदाहरण: $\left(\begin(array) (cccc) 3 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि -2 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 6 \\ एंड(अॅरे)\उजवे)$. मुख्य कर्णरेषावरील घटक काहीही असू शकतात (शून्य किंवा नाही) - हे आवश्यक नाही.

कर्ण मॅट्रिक्स म्हणतात अविवाहितजर मुख्य कर्णावर स्थित या मॅट्रिक्सचे सर्व घटक 1 च्या समान असतील. उदाहरणार्थ, $\left(\begin(array) (cccc) 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(अॅरे)\right)$ - चौथा ऑर्डर ओळख मॅट्रिक्स; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ हा दुसरा ऑर्डर ओळख मॅट्रिक्स आहे.

लक्षात घ्या की मॅट्रिक्सचे घटक केवळ संख्या असू शकत नाहीत. कल्पना करा की तुम्ही तुमच्या बुकशेल्फवर असलेल्या पुस्तकांचे वर्णन करत आहात. तुमचे शेल्फ व्यवस्थित असू द्या आणि सर्व पुस्तके काटेकोरपणे परिभाषित ठिकाणी उभी राहू द्या. ज्या टेबलमध्ये तुमच्या लायब्ररीचे वर्णन असेल (शेल्फ आणि शेल्फवरील पुस्तकांच्या क्रमानुसार) ते देखील मॅट्रिक्स असेल. पण असा मॅट्रिक्स अंकीय नसेल. दुसरे उदाहरण. संख्यांऐवजी, भिन्न कार्ये आहेत, काही अवलंबित्वाने आपापसात एकत्र. परिणामी सारणीला मॅट्रिक्स देखील म्हटले जाईल. दुसऱ्या शब्दांत, मॅट्रिक्स हे बनलेले कोणतेही आयताकृती सारणी आहे एकसंधघटक. येथे आणि खाली आपण संख्यांनी बनलेल्या मॅट्रिक्सबद्दल बोलू.

कंस ऐवजी, चौरस कंस किंवा सरळ दुहेरी उभ्या रेषा वापरून मॅट्रिक्स लिहिल्या जातात.

(2.1*)

व्याख्या २. जर अभिव्यक्तीमध्ये(1) m = n , मग ते बोलतात चौरस मॅट्रिक्स, आणि जर , बद्दल काहीतरी आयताकृती.

m आणि n च्या मूल्यांवर अवलंबून, काही विशेष प्रकारचे मॅट्रिक्स आहेत:

सर्वात महत्वाचे वैशिष्ट्य चौरसमॅट्रिक्स आहे निर्धारककिंवा निर्धारक, जे मॅट्रिक्स घटकांनी बनलेले आहे आणि सूचित केले आहे

अर्थात, D E =1 ; .

व्याख्या ३. तर , मग मॅट्रिक्सए म्हणतात नॉन-डिजनरेट किंवा विशेष नाही.

व्याख्या 4. तर detA = 0 , मग मॅट्रिक्सए म्हणतात क्षीण होणे किंवा विशेष.

व्याख्या 5. दोन मॅट्रिक्सए आणिबी म्हणतात समान आणि लिहा A=B जर त्यांची परिमाणे समान असतील आणि त्यांचे संबंधित घटक समान असतील, म्हणजे..

उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्स आणि समान आहेत, कारण ते आकारात समान आहेत आणि एका मॅट्रिक्सचा प्रत्येक घटक इतर मॅट्रिक्सच्या संबंधित घटकाच्या बरोबरीचा आहे. परंतु मॅट्रिक्सना समान म्हटले जाऊ शकत नाही, जरी दोन्ही मॅट्रिक्सचे निर्धारक समान आहेत, आणि मॅट्रिक्सची परिमाणे समान आहेत, परंतु त्याच ठिकाणी सर्व घटक समान नाहीत. मॅट्रिक्स भिन्न आहेत कारण त्यांचे आकार भिन्न आहेत. पहिला मॅट्रिक्स 2x3 आणि दुसरा 3x2 आहे. जरी घटकांची संख्या समान आहे - 6 आणि घटक स्वतः समान 1, 2, 3, 4, 5, 6 आहेत, परंतु ते प्रत्येक मॅट्रिक्समध्ये वेगवेगळ्या ठिकाणी आहेत. परंतु व्याख्ये 5 नुसार मॅट्रिक्स आणि समान आहेत.

व्याख्या 6. जर आपण मॅट्रिक्स कॉलम्सची ठराविक संख्या निश्चित केलीए आणि त्याच्या पंक्तींची समान संख्या, नंतर निर्दिष्ट स्तंभ आणि ओळींच्या छेदनबिंदूवरील घटक चौरस मॅट्रिक्स बनवतात n- वा क्रम, ज्याचा निर्धारक म्हणतात किरकोळ k- व्या ऑर्डर मॅट्रिक्सए.

उदाहरण. मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या क्रमाचे तीन अल्पवयीन लिहा

तिकीट १७:

प्रश्न 1: पॅराबोलाची व्याख्या. समीकरणाची व्युत्पत्ती:

व्याख्या. पॅराबोला हा एका समतल बिंदूंचा एक संच असतो, त्यातील प्रत्येक एका दिलेल्या बिंदूपासून समान अंतरावर असतो, ज्याला फोकस म्हणतात आणि दिलेल्या सरळ रेषेपासून, ज्याला डायरेक्टिक्स म्हणतात आणि फोकसमधून जात नाही.

फोकस आणि डायरेक्टिक्सच्या मध्यभागी निर्देशांकांची उत्पत्ती करू.

p (फोकसपासून डायरेक्ट्रिक्सपर्यंतचे अंतर) मूल्याला पॅराबोलाचे पॅरामीटर म्हणतात. आम्ही पॅराबोलाचे प्रमाणिक समीकरण काढतो.

भौमितिक संबंधांमधून: एएम = एमएफ; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 + xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

डायरेक्टिक्स समीकरण: x = -p/2.

प्रश्न 2: कॉचीचे प्रमेय:

प्रमेय: फंक्शन्स आणि इंटरव्हल वर वेगळे होऊ द्या आणि शिवाय, सर्वांसाठी सतत. मग मध्यंतरात असा एक बिंदू असतो

भौमितिक अर्थ : या प्रमेयांचा समावेश आहे की आत एक बिंदू t 0 आहे, ज्याचे उतार समानतेने मोजले जातात:

पुरावा. प्रथम ते सिद्ध करूया , म्हणजे, सूत्राच्या डाव्या बाजूला असलेला अंश अर्थपूर्ण आहे. खरंच, या फरकासाठी, आम्ही मर्यादित वाढीसाठी सूत्र लिहू शकतो:

काही ठिकाणी परंतु या सूत्राच्या उजव्या बाजूला, दोन्ही घटक शून्य आहेत.

प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी, आम्ही एक सहायक कार्य सादर करतो

फंक्शन सर्वांसाठी स्पष्टपणे भिन्न आहे आणि बिंदूंवर सतत आहे आणि , कारण फंक्शन्स आणि हे गुणधर्म आहेत. शिवाय, हे स्पष्ट आहे की आम्ही प्राप्त करतो. चला ते दाखवू आणि:

म्हणून, फंक्शन इंटरव्हलवर रोलच्या प्रमेयच्या अटी पूर्ण करते. म्हणून, असा एक मुद्दा आहे की.

आम्ही आता फंक्शनच्या व्युत्पन्नाची गणना करतो:

आम्हाला ते मिळते

जेथून आपल्याला प्रमेयाचे प्रतिपादन प्राप्त होते:

टिप्पणी: आपण समतलावर फिरणाऱ्या बिंदूची कार्ये आणि निर्देशांक विचारात घेऊ शकतो, ज्यामध्ये सुरुवातीच्या बिंदूला शेवटच्या बिंदूशी जोडणाऱ्या रेषेचे वर्णन केले जाते. (नंतर समीकरणे आणि पॅरामेट्रिकली काही अवलंबित्व सेट करते, ज्याचा आलेख रेषा आहे.)

अंजीर.५.६. जीवा वक्राच्या काही स्पर्शिकेला समांतर असते

गुणोत्तर, जसे रेखाचित्रातून पाहणे सोपे आहे, त्यानंतर बिंदू आणि बिंदूंना जोडणाऱ्या जीवाचा उतार सेट करते. त्याच वेळी, पॅरामेट्रिक पद्धतीने दिलेल्या फंक्शनच्या व्युत्पन्नाच्या सूत्रानुसार, आमच्याकडे आहे: . तर अपूर्णांक हा स्पर्शिकेचा रेषेपर्यंतचा उतार आहे . अशाप्रकारे, प्रमेयाच्या विधानाचा अर्थ, भौमितिक दृष्टिकोनातून, रेषेवर एक बिंदू आहे की या बिंदूवर काढलेली स्पर्शिका रेषेच्या टोकाच्या बिंदूंना जोडणाऱ्या जीवाशी समांतर आहे. परंतु हे तेच विधान आहे ज्याने लॅग्रेंजच्या प्रमेयाचा भौमितिक अर्थ तयार केला. फक्त लॅग्रेंजच्या प्रमेयात रेषा स्पष्ट अवलंबनाने दिली होती आणि कॉचीच्या प्रमेयात पॅरामेट्रिक स्वरूपात दिलेल्या अवलंबनाने.

तिकीट 18:

प्रश्न 1: मॅट्रिक्सची संकल्पना. मॅट्रिक्स वर्गीकरण:

व्याख्या. mn आकाराचे मॅट्रिक्स, जेथे m ही पंक्तींची संख्या आहे, n ही स्तंभांची संख्या आहे, एका विशिष्ट क्रमाने मांडलेली संख्यांची सारणी आहे. या संख्यांना मॅट्रिक्स घटक म्हणतात. प्रत्येक घटकाचे स्थान ज्याच्या छेदनबिंदूवर आहे त्या पंक्ती आणि स्तंभाच्या संख्येद्वारे विशिष्टपणे निर्धारित केले जाते. मॅट्रिक्स घटक aij द्वारे दर्शविले जातात, जेथे i ही पंक्ती क्रमांक आहे आणि j हा स्तंभ क्रमांक आहे. अ =

मॅट्रिक्स वर्गीकरण:.

मॅट्रिक्समध्ये एक पंक्ती किंवा एक स्तंभ असू शकतो. सर्वसाधारणपणे, मॅट्रिक्समध्ये एक घटक देखील असू शकतो.

व्याख्या . जर मॅट्रिक्सच्या स्तंभांची संख्या पंक्तींच्या संख्येइतकी असेल (m=n), तर मॅट्रिक्स म्हणतात चौरस

व्याख्या . मॅट्रिक्स पहा: = E ला ओळख मॅट्रिक्स म्हणतात.

व्याख्या. amn = anm असल्यास, मॅट्रिक्सला सममितीय म्हणतात. उदाहरण. - सममित मॅट्रिक्स

व्याख्या . स्क्वेअर व्ह्यू मॅट्रिक्स म्हणतात कर्ण मॅट्रिक्स .

प्रश्न 2: Lagrange चे प्रमेय:

प्रमेय: फंक्शन मध्यांतरावर भिन्न असू द्या आणि बिंदूंवर सतत असू द्या आणि . मग असा एक मुद्दा आहे

भौमितिक अर्थ: प्रथम प्रमेयाचे भौमितिक उदाहरण देऊ. सेगमेंटवरील आलेखाचे शेवटचे बिंदू जीवा सह कनेक्ट करा. मर्यादित वाढ आणि त्रिकोणाच्या पायांच्या लांबी आहेत, ज्याचे कर्ण काढलेली जीवा आहे.

अंजीर.५.५. काही ठिकाणी स्पर्शिका जीवाशी समांतर असते

अंतिम वाढीचे गुणोत्तर आणि जीवाच्या उताराची स्पर्शिका आहे. प्रमेय असे सांगते की स्पर्शिकेला एखाद्या बिंदूवर भिन्न कार्याच्या आलेखावर काढता येते, जी जीवेला समांतर असेल, म्हणजेच स्पर्शिकेचा उतार () असेल. कोनाच्या समानजीवा उतार (). परंतु अशा स्पर्शिकेची उपस्थिती भौमितिकदृष्ट्या स्पष्ट आहे.

लक्षात घ्या की काढलेली जीवा बिंदूंना जोडणारी आणि रेखीय कार्याचा आलेख आहे. या रेखीय कार्याचा उतार स्पष्टपणे समान असल्याने , ते

Lagrange च्या प्रमेयाचा पुरावा. आम्ही रोलचे प्रमेय लागू करण्यासाठी पुरावा कमी करतो. हे करण्यासाठी, आम्ही एक सहायक कार्य सादर करतो, म्हणजे,

त्याची नोंद घ्या आणि (फंक्शन तयार करून). रेखीय फंक्शन सर्वांसाठी भिन्न असल्यामुळे, फंक्शन अशा प्रकारे रोलच्या प्रमेय स्थितीत सूचीबद्ध केलेल्या सर्व गुणधर्मांचे समाधान करते. त्यामुळे चीट शीट असा मुद्दा समोर आला आहे द्वारेतत्त्वज्ञान: परीक्षेच्या तिकिटांची उत्तरे चीट शीट >> तत्वज्ञान

घरकुल द्वारेतत्त्वज्ञान: परीक्षेच्या प्रश्नांची उत्तरे... चित्रकला, शिल्पकला आणि वास्तुकला, कार्य द्वारे गणित, जीवशास्त्र, भूगर्भशास्त्र, शरीरशास्त्र हे मानवाला वाहिलेले आहेत... स्वयं-शिस्त, स्वतःला त्याकडे वळवा उच्चध्येय प्राचीन पूर्वेकडील मुख्य कल्पना ...

घरकुल द्वारेतर्क: परीक्षेच्या तिकिटांची उत्तरे

चीट शीट >> तत्वज्ञान

व्हॅलेरी वेचकानोव्ह घरकुल द्वारेतर्कशास्त्रज्ञ व्लादिमीर एडुआर्दोविच वेचकानोव्ह घरकुल द्वारेतर्क: ... मानवी विचार. शरीरशास्त्र उच्चतंत्रिका क्रियाकलाप नैसर्गिकरित्या प्रकट होतात... प्रस्तावित कार्य मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते गणित. सर्व समीकरणे एकाच...

घरकुल द्वारेअर्थमिती (1)

चीट शीट >> अर्थशास्त्र

आकडेवारी; आर्थिक आकडेवारी; उच्च गणित. म्हणजे. विकासात योगदान... द्वारेघट्टपणाची डिग्री द्वारेदिशा आणि द्वारेविश्लेषणात्मक संरेखन. द्वारे... विरुद्ध दिशेने बदल. द्वारेविश्लेषणात्मक संरेखन: - रेखीय संबंध...

मॅट्रिक्स ही गणितातील एक विशेष वस्तू आहे. हे आयताकृती किंवा चौरस सारणीच्या रूपात चित्रित केले आहे, विशिष्ट संख्येच्या पंक्ती आणि स्तंभांनी बनलेले आहे. गणितामध्ये, मॅट्रिक्सचे विविध प्रकार आहेत, आकार किंवा सामग्रीमध्ये भिन्न आहेत. त्याच्या पंक्ती आणि स्तंभांच्या संख्येला ऑर्डर म्हणतात. प्रणालीचे लेखन व्यवस्थित करण्यासाठी या वस्तूंचा उपयोग गणितामध्ये केला जातो रेखीय समीकरणेआणि त्यांच्या परिणामांचा सोपा शोध. मॅट्रिक्स वापरून समीकरणे कार्ल गॉस, गॅब्रिएल क्रेमर, अल्पवयीन आणि बीजगणितीय जोडणी आणि इतर अनेक मार्गांनी सोडवली जातात. मॅट्रिक्ससह काम करताना मूलभूत कौशल्य कमी करणे आहे तथापि, प्रथम, गणितज्ञ कोणत्या प्रकारचे मॅट्रिक्स वेगळे करतात ते शोधूया.

शून्य प्रकार

या प्रकारच्या मॅट्रिक्सचे सर्व घटक शून्य आहेत. दरम्यान, त्याच्या पंक्ती आणि स्तंभांची संख्या पूर्णपणे भिन्न आहे.

चौरस प्रकार

या प्रकारच्या मॅट्रिक्सच्या स्तंभ आणि पंक्तींची संख्या समान आहे. दुसऱ्या शब्दांत, ते "चौरस" आकाराचे टेबल आहे. त्याच्या स्तंभांच्या संख्येला (किंवा पंक्ती) ऑर्डर म्हणतात. विशेष प्रकरणे म्हणजे दुसऱ्या क्रमाच्या मॅट्रिक्सचे अस्तित्व (मॅट्रिक्स 2x2), चौथा क्रम (4x4), दहावा (10x10), सतरावा (17x17) इत्यादी.

स्तंभ वेक्टर

हे मॅट्रिक्सच्या सर्वात सोप्या प्रकारांपैकी एक आहे, ज्यामध्ये फक्त एक स्तंभ आहे, ज्यामध्ये तीन संख्यात्मक मूल्यांचा समावेश आहे. हे रेखीय समीकरणांच्या प्रणालींमध्ये अनेक मुक्त संज्ञा (व्हेरिएबल्सपासून स्वतंत्र संख्या) दर्शवते.

मागील प्रमाणेच पहा. तीन संख्यात्मक घटकांचा समावेश होतो, यामधून एका ओळीत आयोजित केले जाते.

कर्ण प्रकार

मॅट्रिक्सच्या कर्ण स्वरूपातील संख्यात्मक मूल्ये केवळ मुख्य कर्णाचे घटक घेतात (हायलाइट केलेले हिरव्या रंगात). मुख्य कर्ण वरच्या डाव्या कोपर्यात असलेल्या घटकापासून सुरू होतो आणि अनुक्रमे खालच्या उजव्या बाजूला असलेल्या घटकासह समाप्त होतो. बाकीचे घटक शून्य आहेत. कर्ण प्रकार हा काही क्रमाचा चौरस मॅट्रिक्स असतो. कर्ण स्वरूपाच्या मॅट्रिक्समध्ये, कोणीही एक स्केलर काढू शकतो. त्याचे सर्व घटक समान मूल्ये घेतात.

कर्ण मॅट्रिक्सची उपप्रजाती. त्याची सर्व संख्यात्मक मूल्ये एकके आहेत. एकाच प्रकारच्या मॅट्रिक्स टेबल्सचा वापर करून, त्याची मूलभूत परिवर्तने केली जातात किंवा एक मॅट्रिक्स आढळतो जो मूळच्या उलट आहे.

कॅनॉनिकल प्रकार

मॅट्रिक्सचे प्रमाणिक स्वरूप मुख्यपैकी एक मानले जाते; त्यावर कास्ट करणे अनेकदा काम करण्यासाठी आवश्यक असते. कॅनोनिकल मॅट्रिक्समधील पंक्ती आणि स्तंभांची संख्या भिन्न आहे, ती चौरस प्रकाराशी संबंधित नाही. हे ओळख मॅट्रिक्ससारखे काहीसे समान आहे, तथापि, त्याच्या बाबतीत, मुख्य कर्णाचे सर्व घटक एक समान मूल्य घेत नाहीत. दोन किंवा चार मुख्य कर्ण एकके असू शकतात (हे सर्व मॅट्रिक्सच्या लांबी आणि रुंदीवर अवलंबून असते). किंवा अजिबात एकक नसू शकते (मग ते शून्य मानले जाते). कॅनोनिकल प्रकाराचे उर्वरित घटक, तसेच कर्ण आणि एकक प्रकारांचे घटक, शून्य समान आहेत.

त्रिकोणी प्रकार

निर्धारक शोधताना आणि साध्या ऑपरेशन्स करताना मॅट्रिक्सचा सर्वात महत्वाचा प्रकार वापरला जातो. त्रिकोणी प्रकार कर्ण प्रकारातून येतो, म्हणून मॅट्रिक्स देखील चौरस आहे. मॅट्रिक्सचे त्रिकोणी दृश्य वरच्या त्रिकोणी आणि खालच्या त्रिकोणी मध्ये विभागलेले आहे.

वरच्या त्रिकोणी मॅट्रिक्समध्ये (चित्र 1), फक्त मुख्य कर्णाच्या वर असलेले घटक शून्याच्या बरोबरीचे मूल्य घेतात. कर्णाचेच घटक आणि त्याखालील मॅट्रिक्सच्या भागामध्ये संख्यात्मक मूल्ये असतात.

खालच्या त्रिकोणी मॅट्रिक्समध्ये (चित्र 2), त्याउलट, मॅट्रिक्सच्या खालच्या भागात स्थित घटक शून्याच्या समान आहेत.

मॅट्रिक्सची श्रेणी शोधण्यासाठी तसेच त्यांच्यावरील प्राथमिक ऑपरेशन्ससाठी (त्रिकोणी प्रकारासह) फॉर्म आवश्यक आहे. स्टेप मॅट्रिक्सला असे नाव देण्यात आले आहे कारण त्यात शून्यांचे वैशिष्ट्यपूर्ण "स्टेप्स" आहेत (आकृतीमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे). स्टेप केलेल्या प्रकारात, शून्याचा कर्ण तयार होतो (मुख्य असणे आवश्यक नाही), आणि या कर्णाखालील सर्व घटकांची मूल्ये देखील शून्य समान असतात. एक पूर्व शर्त खालीलप्रमाणे आहे: जर स्टेप मॅट्रिक्समध्ये शून्य पंक्ती असेल, तर त्याखालील उर्वरित पंक्तींमध्ये संख्यात्मक मूल्ये नसतील.

अशा प्रकारे, आम्ही त्यांच्यासह कार्य करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या सर्वात महत्वाच्या प्रकारच्या मॅट्रिक्सचा विचार केला आहे. आता मॅट्रिक्सला आवश्यक फॉर्ममध्ये रूपांतरित करण्याचे काम पाहू.

त्रिकोणी फॉर्ममध्ये घट

मॅट्रिक्सला त्रिकोणी स्वरूपात कसे आणायचे? बर्‍याचदा, असाइनमेंटमध्ये, तुम्हाला मॅट्रिक्सचे निर्धारक शोधण्यासाठी त्रिकोणी स्वरूपात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे, अन्यथा निर्धारक म्हटले जाते. ही प्रक्रिया पार पाडताना, मॅट्रिक्सचा मुख्य कर्ण "जतन" करणे अत्यंत महत्वाचे आहे, कारण त्रिकोणी मॅट्रिक्सचा निर्धारक त्याच्या मुख्य कर्णाच्या घटकांचे उत्पादन आहे. मी तुम्हाला निर्धारक शोधण्याच्या पर्यायी पद्धतींची आठवण करून देतो. चौरस-प्रकार निर्धारक विशेष सूत्रे वापरून आढळतात. उदाहरणार्थ, आपण त्रिकोण पद्धत वापरू शकता. इतर मॅट्रिक्ससाठी, पंक्ती, स्तंभ किंवा त्यांच्या घटकांद्वारे विघटन करण्याची पद्धत वापरली जाते. तुम्ही मॅट्रिक्सच्या अल्पवयीन आणि बीजगणितीय पूरक पद्धती देखील लागू करू शकता.

काही कार्यांची उदाहरणे वापरून मॅट्रिक्सला त्रिकोणी स्वरूपात आणण्याच्या प्रक्रियेचे तपशीलवार विश्लेषण करूया.

व्यायाम १

प्रस्तुत मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधणे आवश्यक आहे, त्यास त्रिकोणी स्वरूपात आणण्याची पद्धत वापरून.

आम्हाला दिलेला मॅट्रिक्स हा तिसऱ्या क्रमाचा चौरस मॅट्रिक्स आहे. म्हणून, त्याचे त्रिकोणी स्वरूपात रूपांतर करण्यासाठी, आपल्याला पहिल्या स्तंभातील दोन घटक आणि दुसऱ्या स्तंभातील एक घटक नष्ट करणे आवश्यक आहे.

ते त्रिकोणी स्वरूपात आणण्यासाठी, आम्ही मॅट्रिक्सच्या खालच्या डाव्या कोपर्यातून - क्रमांक 6 पासून परिवर्तन सुरू करतो. ते शून्यावर वळवण्यासाठी, आम्ही पहिल्या पंक्तीला तीनने गुणाकार करतो आणि शेवटच्या पंक्तीमधून वजा करतो.

महत्वाचे! शीर्ष ओळ बदलत नाही, परंतु मूळ मॅट्रिक्स प्रमाणेच राहते. तुम्हाला मूळच्या चार पट स्ट्रिंग लिहिण्याची गरज नाही. परंतु ज्या पंक्तींचे घटक शून्यावर सेट करणे आवश्यक आहे त्यांची मूल्ये सतत बदलत असतात.

फक्त शेवटचे मूल्य उरले आहे - दुसऱ्या स्तंभाच्या तिसऱ्या पंक्तीचा घटक. ही संख्या (-1) आहे. ते शून्यावर वळवण्यासाठी, पहिल्या रांगेतून दुसरी वजा करा.

चला तपासूया:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

म्हणून, कार्याचे उत्तरः -22.

कार्य २

मॅट्रिक्सचा निर्धारक त्रिकोणी स्वरूपात आणून शोधणे आवश्यक आहे.

प्रस्तुत मॅट्रिक्स स्क्वेअर प्रकाराशी संबंधित आहे आणि चौथ्या क्रमाचा मॅट्रिक्स आहे. याचा अर्थ असा की पहिल्या स्तंभातील तीन घटक, दुसऱ्या स्तंभातील दोन घटक आणि तिसऱ्या स्तंभातील एक घटक नष्ट करणे आवश्यक आहे.

चला खालच्या डाव्या कोपर्यात असलेल्या घटकापासून ते कास्ट करणे सुरू करूया - क्रमांक 4 वरून. आम्हाला ही संख्या शून्यावर बदलण्याची आवश्यकता आहे. हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे वरच्या पंक्तीला चार ने गुणणे आणि नंतर चौथ्या ओळीतून वजा करणे. परिवर्तनाच्या पहिल्या टप्प्याचा परिणाम आपण लिहू.

तर, चौथ्या पंक्तीचा घटक शून्यावर सेट केला आहे. चला तिसऱ्या ओळीच्या पहिल्या घटकाकडे, क्रमांक 3 वर जाऊया. आम्ही एक समान ऑपरेशन करतो. पहिल्या पंक्तीला तीन ने गुणा, तिसऱ्या ओळीतून वजा करा आणि निकाल लिहा.

आम्ही या स्क्वेअर मॅट्रिक्सच्या पहिल्या स्तंभातील सर्व घटक शून्यावर सेट करण्यात व्यवस्थापित केले, संख्या 1 वगळता, मुख्य कर्णाचा एक घटक ज्याला परिवर्तनाची आवश्यकता नाही. आता परिणामी शून्य ठेवणे महत्वाचे आहे, म्हणून आम्ही स्तंभांद्वारे नव्हे तर पंक्तीसह परिवर्तन करू. प्रस्तुत मॅट्रिक्सच्या दुसऱ्या स्तंभाकडे वळू.

चला पुन्हा तळापासून सुरुवात करू - शेवटच्या पंक्तीच्या दुसऱ्या स्तंभाच्या घटकापासून. ही संख्या (-7) आहे. तथापि, या प्रकरणात (-1) क्रमांकासह प्रारंभ करणे अधिक सोयीचे आहे - तिसऱ्या ओळीच्या दुसऱ्या स्तंभाचा घटक. ते शून्यावर वळवण्यासाठी, तिसऱ्या रांगेतून दुसरी पंक्ती वजा करा. मग आपण दुसरी पंक्ती सात ने गुणाकार करतो आणि चौथ्या मधून वजा करतो. दुसऱ्या स्तंभाच्या चौथ्या रांगेत असलेल्या घटकाऐवजी आम्हाला शून्य मिळाले. आता तिसऱ्या स्तंभाकडे वळू.

या स्तंभात, आपल्याला शून्याकडे फक्त एक संख्या वळवावी लागेल - 4. हे करणे सोपे आहे: फक्त शेवटच्या पंक्तीमध्ये तिसरा जोडा आणि आम्हाला आवश्यक असलेले शून्य पहा.

सर्व परिवर्तनांनंतर, आम्ही प्रस्तावित मॅट्रिक्सला त्रिकोणी स्वरूपात आणले. आता, त्याचे निर्धारक शोधण्यासाठी, तुम्हाला फक्त मुख्य कर्णाच्या परिणामी घटकांचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे. आम्हाला मिळते: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.म्हणून, समाधान क्रमांक 160 आहे.

तर, आता मॅट्रिक्सला त्रिकोणी स्वरूपात आणण्याचा प्रश्न तुमच्यासाठी कठीण होणार नाही.

चरणबद्ध फॉर्ममध्ये घट

मॅट्रिक्सवरील प्राथमिक ऑपरेशन्ससाठी, चरणबद्ध फॉर्म त्रिकोणी फॉर्मपेक्षा कमी "मागणी" आहे. मॅट्रिक्सची रँक शोधण्यासाठी (म्हणजे, त्याच्या शून्य नसलेल्या पंक्तींची संख्या) किंवा रेखीय अवलंबून आणि स्वतंत्र पंक्ती निर्धारित करण्यासाठी हे सर्वात सामान्यपणे वापरले जाते. तथापि, मॅट्रिक्सचे चरणबद्ध दृश्य अधिक बहुमुखी आहे, कारण ते केवळ चौरस प्रकारासाठीच नाही तर इतर प्रत्येकासाठी योग्य आहे.

मॅट्रिक्सला चरणबद्ध फॉर्ममध्ये कमी करण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम त्याचे निर्धारक शोधण्याची आवश्यकता आहे. यासाठी वरील पद्धती योग्य आहेत. निर्धारक शोधण्याचा हेतू म्हणजे त्याचे स्टेप मॅट्रिक्समध्ये रूपांतर करता येते का हे शोधणे. निर्धारक शून्यापेक्षा मोठे किंवा कमी असल्यास, आपण सुरक्षितपणे कार्य पुढे जाऊ शकता. जर ते शून्याच्या बरोबरीचे असेल, तर ते मॅट्रिक्सला स्टेप्ड फॉर्ममध्ये कमी करण्यासाठी कार्य करणार नाही. या प्रकरणात, आपल्याला रेकॉर्डमध्ये किंवा मॅट्रिक्स ट्रान्सफॉर्मेशनमध्ये काही त्रुटी आहेत का ते तपासण्याची आवश्यकता आहे. अशी कोणतीही अयोग्यता नसल्यास, कार्य सोडवता येणार नाही.

अनेक कार्यांची उदाहरणे वापरून मॅट्रिक्सला चरणबद्ध स्वरूपात कसे आणायचे याचा विचार करूया.

व्यायाम १.दिलेल्या मॅट्रिक्स सारणीची रँक शोधा.

आमच्यापुढे तिसऱ्या क्रमाचा (3x3) चौरस मॅट्रिक्स आहे. आम्हाला माहित आहे की रँक शोधण्यासाठी, ते चरणबद्ध स्वरूपात कमी करणे आवश्यक आहे. म्हणून, आपल्याला प्रथम मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधण्याची आवश्यकता आहे. चला त्रिकोण पद्धत वापरू: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

निर्धारक = 12. हे शून्यापेक्षा मोठे आहे, याचा अर्थ मॅट्रिक्स एका चरणबद्ध स्वरूपात कमी केला जाऊ शकतो. चला त्याचे रूपांतर सुरू करूया.

चला तिसर्‍या पंक्तीच्या डाव्या स्तंभाच्या घटकासह प्रारंभ करूया - क्रमांक 2. आम्ही वरच्या पंक्तीला दोनने गुणाकार करतो आणि तिसर्‍या ओळीतून वजा करतो. या ऑपरेशनबद्दल धन्यवाद, आम्हाला आवश्यक असलेले घटक आणि क्रमांक 4 - तिसऱ्या ओळीच्या दुसऱ्या स्तंभातील घटक - शून्यात बदलले.

आम्ही पाहतो की घट झाल्यामुळे त्रिकोणी मॅट्रिक्स तयार झाले. आमच्या बाबतीत, परिवर्तन चालू ठेवता येत नाही, कारण उर्वरित घटक शून्याकडे वळले जाऊ शकत नाहीत.

म्हणून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की या मॅट्रिक्समध्ये (किंवा त्याची श्रेणी) संख्यात्मक मूल्ये असलेल्या पंक्तींची संख्या 3 आहे. कार्याचे उत्तर: 3.

कार्य २.दिलेल्या मॅट्रिक्सच्या रेखीय स्वतंत्र पंक्तींची संख्या निश्चित करा.

आम्हाला अशा स्ट्रिंग्स शोधण्याची गरज आहे ज्याचे कोणत्याही परिवर्तनाने शून्यात रूपांतर करता येणार नाही. खरं तर, आपल्याला शून्य नसलेल्या पंक्तींची संख्या किंवा प्रस्तुत मॅट्रिक्सची श्रेणी शोधण्याची आवश्यकता आहे. हे करण्यासाठी, ते सोपे करूया.

आम्ही एक मॅट्रिक्स पाहतो जो स्क्वेअर प्रकाराशी संबंधित नाही. त्याची परिमाणे 3x4 आहेत. खालच्या डाव्या कोपऱ्यातील घटकापासून कास्ट देखील सुरू करूया - संख्या (-1).

पुढील परिवर्तने शक्य नाहीत. तर, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की त्यातील रेखीय स्वतंत्र रेषांची संख्या आणि कार्याचे उत्तर 3 आहे.

आता मॅट्रिक्सला चरणबद्ध फॉर्ममध्ये आणणे तुमच्यासाठी अशक्य काम नाही.

या कार्यांच्या उदाहरणांवर, आम्ही मॅट्रिक्सचे त्रिकोणी स्वरूप आणि चरणबद्ध फॉर्ममध्ये घट करण्याचे विश्लेषण केले. मॅट्रिक्स सारण्यांची इच्छित मूल्ये रद्द करण्यासाठी, काही प्रकरणांमध्ये कल्पनाशक्ती दर्शविणे आणि त्यांचे स्तंभ किंवा पंक्ती योग्यरित्या बदलणे आवश्यक आहे. गणितात आणि मॅट्रिक्ससह काम करण्यासाठी शुभेच्छा!

जरी संशोधक सामान्यतः वर्गीकरणाचा संदर्भ "अज्ञात" वस्तूंच्या वर्गाचा अंदाज लावण्याचे एक साधन म्हणून घेतात, तरीही आम्ही ते वर्गीकरण प्रक्रियेच्या अचूकतेची चाचणी घेण्यासाठी वापरू शकतो. हे करण्यासाठी, आम्ही "ज्ञात" वस्तू घेतो (ज्या आम्ही वर्गीकरण फंक्शन्सच्या व्युत्पन्नामध्ये वापरल्या होत्या) आणि त्यांना वर्गीकरण नियम लागू करतो. योग्यरित्या वर्गीकृत वस्तूंचे प्रमाण प्रक्रियेची अचूकता दर्शवते आणि अप्रत्यक्षपणे वर्ग विभक्ततेची पुष्टी करते. परिणामांचे वर्णन करण्यासाठी एक सारणी किंवा "वर्गीकरण मॅट्रिक्स" तयार केले जाऊ शकते. कोणत्या चुका अधिक वेळा केल्या जात आहेत हे पाहण्यात हे आम्हाला मदत करेल.

तक्ता 12. वर्गीकरण मॅट्रिक्स

तक्ता 12 हे सिनेट मतदान डेटाचे वर्गीकरण मॅट्रिक्स आहे. बार्डेसचे सहा व्हेरिएबल्स सर्व सिनेटर्सच्या (केपहार्ट वगळता) दुफळी वाटपाचा अचूक अंदाज लावतात ज्यांचे गटबद्धता "ज्ञात" आहे. या प्रकरणात अंदाज अचूकता 94.7% आहे (योग्य अंदाजांची बेरीज 18 "ज्ञात" वस्तूंच्या एकूण संख्येने भागली जाते). आम्ही हे देखील पाहतो की या उदाहरणातील त्रुटी गट 1 आणि 4 च्या खराब विभक्तीमुळे आहेत. टेबलच्या खालच्या ओळीत. 12 "अज्ञात" वस्तूंच्या गटांद्वारे वितरण दर्शविते. हे असे सिनेटर्स आहेत ज्यांचे गटबद्ध संबंध बार्डेस तिच्याकडे असलेल्या डेटावरून निर्धारित करण्यात अक्षम होते. या सिनेटर्सच्या मतांच्या आधारे त्यांच्या स्थानांचे वर्गीकरण करण्यासाठी भेदभावपूर्ण विश्लेषण वापरणे हे तिचे मुख्य ध्येय होते, त्यानंतर तिने परदेशी मदतीसाठी विविध पर्यायांकडे सिनेटचा दृष्टिकोन शोधणे सुरू ठेवले.

योग्यरित्या वर्गीकृत केलेल्या "ज्ञात" वस्तूंची टक्केवारी हे गटांमधील फरकांचे अतिरिक्त माप आहे. व्हेरिएबल्समध्ये असलेल्या भेदभावपूर्ण माहितीचे प्रमाण दर्शविण्यासाठी आम्ही विल्क्सच्या सामान्य L-सांख्यिकी आणि प्रमाणिक सहसंबंधांसह त्याचा वापर करू. अंदाज अचूकतेचे थेट माप म्हणून, ही टक्केवारी भेदभावपूर्ण माहितीचे सर्वात योग्य माप आहे. तथापि, टक्केवारीचे मूल्य केवळ योग्य वर्गीकरणाच्या अपेक्षित टक्केवारीने ठरवले जाऊ शकते जेव्हा वर्गांचे वितरण यादृच्छिकपणे केले जाते. जर दोन वर्ग असतील, तर यादृच्छिक वर्गीकरणासह, 50% अचूक अंदाज अपेक्षित केले जाऊ शकतात. चार वर्गांसाठी, अपेक्षित अचूकता फक्त 25% आहे. जर दोन वर्गांसाठी वर्गीकरण प्रक्रिया 60% अचूक अंदाज देते, तर त्याची कार्यक्षमता खूपच कमी आहे, परंतु चार वर्गांसाठी समान परिणाम लक्षणीय कार्यक्षमता दर्शवितात, कारण यादृच्छिक वर्गीकरण केवळ 25% अचूक अंदाज देईल. हे आम्हाला -त्रुटी आकडेवारीवर आणते, जे कोणत्याही वर्गासाठी कार्यप्रदर्शनाचे प्रमाणित माप असेल:

योग्यरित्या वर्गीकृत वस्तूंची संख्या कोठे आहे आणि वर्गाशी संबंधित असण्याची प्राथमिक संभाव्यता आहे.

अभिव्यक्ती ऑब्जेक्ट्सची संख्या दर्शवते ज्यांचे यादृच्छिकपणे वर्गांमध्ये वर्गीकरण करून योग्यरित्या अंदाज लावला जाईल. जर सर्व वर्ग समान मानले जातात, तर आधीच्या संभाव्यता वर्गांच्या संख्येने भागिले एक समान मानले जाते. -statistic चे कमाल मूल्य 1 आहे आणि ते त्रुटी-मुक्त अंदाजाच्या बाबतीत गाठले जाते. शून्य मूल्य प्रक्रियेची अकार्यक्षमता दर्शवते, - आकडेवारी नकारात्मक मूल्ये देखील घेऊ शकते, जे खराब भेदभाव किंवा अधोगती दर्शवते. तो पूर्णांक असणे आवश्यक असल्याने, वर्गांमध्ये कोणतेही फरक नसताना अंश हा योगायोगाने पूर्णपणे ऋणात्मक होऊ शकतो.