पायांनी कोनाची गणना. ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर. त्रिकोण सोडवणे

भूमितीमध्ये, कोन ही एक आकृती आहे जी एका बिंदूतून बाहेर पडणाऱ्या दोन किरणांनी बनते (ज्याला कोनाचे शिरोबिंदू म्हणतात). बहुतेक प्रकरणांमध्ये, कोनासाठी मोजण्याचे एकक डिग्री (°) असते - लक्षात ठेवा की पूर्ण कोन किंवा एक क्रांती 360° आहे. आपण बहुभुजाचे कोन मूल्य त्याच्या प्रकारानुसार आणि इतर कोनांच्या मूल्यांनुसार शोधू शकता आणि काटकोन त्रिकोण दिल्यास, कोन दोन बाजूंनी काढता येतो. शिवाय, कोन प्रोट्रेक्टर वापरून मोजता येतो किंवा ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरून मोजता येतो.

पायऱ्या

बहुभुजाचे आतील कोन कसे शोधायचे

बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या मोजा.बहुभुजाच्या आतील कोनांची गणना करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम बहुभुजाच्या किती बाजू आहेत हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे. लक्षात घ्या की बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या त्याच्या कोनांच्या संख्येइतकी आहे.

• उदाहरणार्थ, त्रिकोणाला 3 बाजू आणि 3 आतील कोन आहेत आणि चौरसाला 4 बाजू आणि 4 आतील कोन आहेत.

1. बहुभुजाच्या सर्व आतील कोनांच्या बेरजेची गणना करा.हे करण्यासाठी, खालील सूत्र वापरा: (n - 2) x 180. या सूत्रात, n ही बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या आहे. सामान्यतः आढळणाऱ्या बहुभुजांच्या कोनांची बेरीज खालीलप्रमाणे आहेत:

   • त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज (3 बाजू असलेला बहुभुज) 180° आहे.
   • चौकोनाच्या कोनांची बेरीज (4 बाजू असलेला बहुभुज) 360° आहे.
   • पंचकोन (५ बाजू असलेला बहुभुज) च्या कोनांची बेरीज ५४०° आहे.
   • षटकोनाच्या कोनांची बेरीज (6 बाजू असलेला बहुभुज) 720° आहे.
   • अष्टकोनाच्या कोनांची बेरीज (8 बाजू असलेला बहुभुज) 1080° आहे.

2. नियमित बहुभुजाच्या सर्व कोनांची बेरीज कोनांच्या संख्येने विभाजित करा.नियमित बहुभुज म्हणजे समान बाजू आणि समान कोन असलेला बहुभुज. उदाहरणार्थ, समभुज त्रिकोणाच्या प्रत्येक कोनाची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते: 180 ÷ 3 = 60°, आणि चौरसाचा प्रत्येक कोन खालीलप्रमाणे मोजला जातो: 360 ÷ 4 = 90°.

   • समभुज त्रिकोण आणि चौरस हे नियमित बहुभुज आहेत. आणि पेंटागॉन इमारत (वॉशिंग्टन, यूएसए) आणि स्टॉप रोड चिन्हाचा आकार नियमित अष्टकोनासारखा आहे.

3. सर्व ज्ञात कोनांची बेरीज अनियमित बहुभुजाच्या कोनांच्या एकूण बेरीजमधून वजा करा.जर बहुभुजाच्या बाजू एकमेकांच्या समान नसतील आणि त्याचे कोन देखील एकमेकांशी समान नसतील, तर प्रथम बहुभुजाचे ज्ञात कोन जोडा. आता बहुभुजाच्या सर्व कोनांच्या बेरीजमधून परिणामी मूल्य वजा करा - अशा प्रकारे तुम्हाला अज्ञात कोन सापडेल.

   • उदाहरणार्थ, जर पंचकोनाचे 4 कोन 80°, 100°, 120° आणि 140° आहेत, तर या संख्या जोडा: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. आता सर्वांच्या बेरजेतून हे मूल्य वजा करा. पंचकोनचे कोन; ही बेरीज 540°: 540 - 440 = 100° इतकी आहे. अशा प्रकारे, अज्ञात कोन 100° आहे.

   सल्ला:आकृतीचे गुणधर्म माहित असल्यास काही बहुभुजांचे अज्ञात कोन मोजले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, समद्विभुज त्रिकोणामध्ये, दोन बाजू समान असतात आणि दोन कोन समान असतात; समांतरभुज चौकोनात (जो चतुर्भुज आहे), विरुद्ध बाजू समान असतात आणि विरुद्ध कोन समान असतात.

   त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची लांबी मोजा.काटकोन त्रिकोणाच्या सर्वात लांब बाजूस कर्ण म्हणतात. जवळची बाजू ही अज्ञात कोनाजवळ असलेली बाजू आहे. विरुद्ध बाजू म्हणजे अज्ञात कोनाच्या विरुद्ध असलेली बाजू. त्रिकोणाच्या अज्ञात कोनांची गणना करण्यासाठी दोन बाजू मोजा.

   सल्ला:समीकरणे सोडवण्यासाठी ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर वापरा किंवा साइन्स, कोसाइन आणि टॅन्जेंट्सच्या मूल्यांसह ऑनलाइन टेबल शोधा.

   जर तुम्हाला विरुद्ध बाजू आणि कर्ण माहित असेल तर कोनाच्या साइनची गणना करा.हे करण्यासाठी, मूल्ये समीकरणामध्ये प्लग करा: sin(x) = विरुद्ध बाजू ÷ कर्ण. उदाहरणार्थ, विरुद्ध बाजू 5 सेमी आहे आणि कर्ण 10 सेमी आहे. 5/10 = 0.5 भागा. अशा प्रकारे, sin(x) = 0.5, म्हणजेच x = sin -1 (0.5).

कोणतीही छप्पर बांधणे दिसते तितके सोपे नाही. आणि जर तुम्हाला ते विश्वासार्ह, टिकाऊ आणि विविध भारांपासून घाबरू नये असे वाटत असेल तर प्रथम, डिझाइनच्या टप्प्यावर, तुम्हाला बरीच गणना करणे आवश्यक आहे. आणि त्यामध्ये केवळ स्थापनेसाठी वापरल्या जाणार्‍या सामग्रीचे प्रमाणच नाही तर उताराचे कोन, उताराचे क्षेत्र इत्यादींचे निर्धारण देखील समाविष्ट असेल. छतावरील उतार कोन योग्यरित्या कसे मोजायचे? या मूल्यावरच या डिझाइनचे उर्वरित पॅरामीटर्स मोठ्या प्रमाणावर अवलंबून असतील.

कोणत्याही छताचे डिझाइन आणि बांधकाम नेहमीच एक अतिशय महत्त्वाची आणि जबाबदार बाब असते. विशेषतः जर आम्ही बोलत आहोतनिवासी इमारतीच्या छताबद्दल किंवा जटिल आकाराच्या छताबद्दल. परंतु अगदी नॉनडिस्क्रिप्ट शेड किंवा गॅरेजवर स्थापित केलेल्या सामान्य लीन-टूला देखील प्राथमिक गणना आवश्यक आहे.

जर तुम्ही छताच्या कलतेचा कोन आधीच ठरवला नाही, रिजची इष्टतम उंची किती असावी हे शोधून काढले नाही, तर पहिल्या बर्फवृष्टीनंतर किंवा संपूर्णपणे कोसळून छप्पर बांधण्याचा धोका जास्त असतो. फिनिशिंग कोटिंग मध्यम वाऱ्याने देखील फाटले जाईल.

तसेच, छताचा कोन रिजची उंची, उतारांचे क्षेत्र आणि परिमाण यावर लक्षणीय परिणाम करेल. यावर अवलंबून, तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या रकमेची अधिक अचूक गणना करणे शक्य होईल राफ्टर सिस्टमआणि परिष्करण साहित्य.

वेगवेगळ्या प्रकारच्या छतावरील रिजसाठी किंमती

रूफिंग रिज

युनिट्स

प्रत्येकाने शाळेत शिकलेली भूमिती लक्षात ठेवून, हे सांगणे सुरक्षित आहे की छताचा कोन अंशांमध्ये मोजला जातो. तथापि, बांधकामावरील पुस्तकांमध्ये, तसेच विविध रेखाचित्रांमध्ये, आपण दुसरा पर्याय शोधू शकता - कोन टक्केवारी म्हणून दर्शविला जातो (येथे आमचा आस्पेक्ट रेशो असा अर्थ आहे).

साधारणपणे, उताराचा कोन हा दोन छेदणाऱ्या विमानांनी तयार केलेला कोन आहे- कमाल मर्यादा आणि छताचा उतार स्वतःच. ते फक्त तीक्ष्ण असू शकते, म्हणजेच 0-90 अंशांच्या श्रेणीत झोपू शकते.

एका नोटवर! अतिशय उंच उतार, ज्याचा झुकाव कोन 50 अंशांपेक्षा जास्त आहे, त्यांच्या शुद्ध स्वरूपात अत्यंत दुर्मिळ आहेत. ते सहसा फक्त तेव्हाच वापरले जातात सजावटीची रचनाछप्पर, पोटमाळा मध्ये उपस्थित असू शकते.

छताचे कोन अंशांमध्ये मोजण्यासाठी, सर्वकाही सोपे आहे - शाळेत भूमितीचा अभ्यास केलेल्या प्रत्येकास हे ज्ञान आहे. कागदावर छताचे रेखाचित्र रेखाटणे आणि कोन निश्चित करण्यासाठी प्रोट्रॅक्टर वापरणे पुरेसे आहे.

टक्केवारीसाठी, आपल्याला रिजची उंची आणि इमारतीची रुंदी माहित असणे आवश्यक आहे. पहिला निर्देशक दुसऱ्याने भागला जातो आणि परिणामी मूल्य 100% ने गुणाकार केला जातो. अशा प्रकारे टक्केवारी काढता येते.

एका नोटवर! 1 च्या टक्केवारीवर, झुकण्याची विशिष्ट पदवी 2.22% आहे. म्हणजेच, 45 सामान्य अंशांचा कोन असलेला उतार 100% इतका असतो. आणि 1 टक्के म्हणजे 27 चाप मिनिटे.

मूल्यांची सारणी - अंश, मिनिटे, टक्केवारी

कोणते घटक कलतेच्या कोनावर परिणाम करतात?

कोणत्याही छताच्या झुकण्याचा कोन घराच्या भावी मालकाच्या इच्छेपासून आणि ज्या प्रदेशात घर असेल त्या प्रदेशासह समाप्त होणा-या घटकांच्या मोठ्या संख्येने प्रभावित होतो. गणना करताना, सर्व सूक्ष्मता विचारात घेणे आवश्यक आहे, अगदी पहिल्या दृष्टीक्षेपात क्षुल्लक वाटणारे देखील. एक दिवस ते त्यांची भूमिका निभावतील. हे जाणून घेऊन योग्य छप्पर कोन निश्चित करा:

• सामग्रीचे प्रकार ज्यामधून छप्पर पाई बांधले जाईल, राफ्टर सिस्टमपासून सुरू होईल आणि बाह्य सजावटसह समाप्त होईल;
• दिलेल्या क्षेत्रातील हवामान परिस्थिती (वाऱ्याचा भार, प्रचलित वाऱ्याची दिशा, पर्जन्यवृष्टीचे प्रमाण इ.);
• भविष्यातील इमारतीचा आकार, त्याची उंची, डिझाइन;
• इमारतीचा उद्देश, पोटमाळा जागा वापरण्याचे पर्याय.

ज्या प्रदेशात वाऱ्याचा भार जास्त असतो, तेथे एक उतार आणि थोडा झुकता कोन असलेले छप्पर बांधण्याची शिफारस केली जाते. मग, जोरदार वाऱ्यामध्ये, छताला उभे राहण्याची आणि फाटलेली नसण्याची चांगली संधी असते. जर ते प्रदेशासाठी वैशिष्ट्यपूर्ण असेल मोठ्या संख्येनेपर्जन्यवृष्टी (बर्फ किंवा पाऊस), नंतर उतार अधिक उंच करणे चांगले आहे - यामुळे पर्जन्य छतावरून लोळणे/निचले जाऊ शकते आणि अतिरिक्त भार निर्माण होणार नाही. वादळी प्रदेशात खड्डे असलेल्या छताचा इष्टतम उतार 9-20 अंशांच्या दरम्यान असतो आणि जेथे भरपूर पाऊस पडतो - 60 अंशांपर्यंत. 45 अंशांचा कोन आपल्याला संपूर्णपणे बर्फाच्या भाराकडे दुर्लक्ष करण्यास अनुमती देईल, परंतु या प्रकरणात छतावरील वाऱ्याचा दाब केवळ 11 अंशांच्या उतार असलेल्या छतापेक्षा 5 पट जास्त असेल.

एका नोटवर! छतावरील उताराचे मापदंड जितके जास्त असेल तितके ते तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या सामग्रीचे प्रमाण जास्त असेल. खर्च किमान 20% वाढतो.

उतार कोन आणि छप्पर घालण्याची सामग्री

उतारांच्या आकार आणि कोनावर केवळ हवामानाचाच परिणाम होणार नाही. बांधकामासाठी वापरलेली सामग्री, विशेषत: छतावरील आच्छादन देखील महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावतात.

टेबल. विविध सामग्रीपासून बनवलेल्या छप्परांसाठी इष्टतम उतार कोन.

एका नोटवर! छताचा उतार जितका कमी असेल तितकी लहान पिच शीथिंग तयार करताना वापरली जाईल.

मेटल टाइलसाठी किंमती

मेटल टाइल्स

रिजची उंची देखील उताराच्या कोनावर अवलंबून असते

कोणत्याही छताची गणना करताना, काटकोन त्रिकोण नेहमी संदर्भ बिंदू म्हणून घेतला जातो, जेथे पाय वरच्या बिंदूवर उताराची उंची असते, म्हणजे, रिजवर किंवा संपूर्ण राफ्टर सिस्टमच्या खालच्या भागाचे संक्रमण. वरच्या बाजूस (च्या बाबतीत mansard छप्पर), तसेच क्षैतिज वर विशिष्ट उताराच्या लांबीचे प्रक्षेपण, जे मजले द्वारे दर्शविले जाते. येथे फक्त एक स्थिर मूल्य आहे - ही दोन भिंतींमधील छताची लांबी आहे, म्हणजेच स्पॅनची लांबी. रिजच्या भागाची उंची झुकण्याच्या कोनावर अवलंबून बदलू शकते.

त्रिकोणमितीतील सूत्रांचे ज्ञान तुम्हाला छप्पर डिझाइन करण्यात मदत करेल: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LxtgA, S = H/sinA, जेथे A हा उताराचा कोन आहे, H ही छताची उंची आहे रिज क्षेत्रापर्यंत, L संपूर्ण लांबीच्या छताच्या कालावधीच्या ½ आहे (सह गॅबल छप्पर) किंवा संपूर्ण लांबी (पिच केलेल्या छताच्या बाबतीत), S ही उताराचीच लांबी आहे. उदाहरणार्थ, जर ते ज्ञात असेल तर अचूक मूल्यरिजच्या भागाची उंची, नंतर झुकाव कोन प्रथम सूत्र वापरून निर्धारित केला जातो. स्पर्शिकेच्या सारणीचा वापर करून तुम्ही कोन शोधू शकता. जर गणना छताच्या कोनावर आधारित असेल, तर तिसरे सूत्र वापरून रिजची उंची पॅरामीटर शोधता येईल. राफ्टर्सची लांबी, झुकाव कोनाचे मूल्य आणि पायांचे मापदंड, चौथ्या सूत्राचा वापर करून गणना केली जाऊ शकते.

आंद्रे प्रोकिप: “माझा प्रियकर रशियन पर्यावरणशास्त्र आहे. तुम्हाला त्यात गुंतवणूक करण्याची गरज आहे!”
4-5 सप्टेंबर रोजी, "शहरांचे हवामान आकार" पर्यावरण मंच आयोजित करण्यात आला. या कार्यक्रमाचा आरंभकर्ता C40 संस्था आहे, ज्याची स्थापना 2005 मध्ये UN ने केली होती. फॉर्म आणि शहरांचे मुख्य कार्य म्हणजे शहरांमध्ये हवामान बदल नियंत्रित करणे.
सराव दर्शविल्याप्रमाणे, सामाजिक कार्यक्रम आणि "नाइटक्लबमधील बैठका" च्या विरूद्ध, तेथे काही प्रतिनिधी आणि सार्वजनिक व्यक्ती होत्या. ज्यांनी पर्यावरणीय परिस्थितीबद्दल खरोखर चिंता व्यक्त केली त्यापैकी प्रोकिप अॅड्रे झिनोविविच होते. त्याने घेतला सक्रिय सहभागराष्ट्रपतींच्या विशेष प्रतिनिधीसह सर्व पूर्ण सत्रांमध्ये रशियाचे संघराज्यहवामानाच्या मुद्द्यांवर रुस्लान एडेलगेरिव्ह, गृहनिर्माण आणि सांप्रदायिक सेवांसाठी मॉस्कोचे उपमहापौर प्योत्र बिर्युकोव्ह, तसेच परदेशी प्रतिनिधी - सवोना या इटालियन शहराचे महापौर - इलारियो कॅप्रिओग्लिओ. सहभागींनी त्यांचे प्रकल्प सादर केले आणि वाढत्या जागतिक तापमानाला आळा घालण्यासाठीच्या धोरणांवर चर्चा केली आणि शाश्वत शहरी विकासासाठी व्यावहारिक उपाय सुचवले.
आंद्रे शशलिक, प्रतिनियुक्ती आणि ग्रीन बिल्डिंग बद्दल प्रोकीप
रशियन बाजूला स्पीकर्सच्या भाषणांमध्ये विशेष रस होता, ज्यामध्ये युरोपियन आर्किटेक्ट, शास्त्रज्ञ आणि सवोनाचे महापौर होते. भाषणाचा विषय शीर्ष दिशा - “हिरवा बांधकाम” होता. आंद्रे प्रोकिपने स्वतः म्हटल्याप्रमाणे, "संसाधनांचे योग्यरित्या पुनर्वितरण करणे तसेच मॉस्कोसारख्या महानगरासाठी युरोपियन बांधकाम मानके विचारात घेणे महत्वाचे आहे. रशियाने फेडरल स्तरावर "ग्रीन फायनान्सिंग" साठी कोर्स करणे आवश्यक आहे, विशेषत: ते आर्थिकदृष्ट्या व्यवहार्य असल्याने आणि सराव दर्शविल्याप्रमाणे, फायदेशीर आहे. पर्यावरणीय आपत्तींमुळे आणि मोठ्या आणि लहान औद्योगिक उपक्रमांद्वारे कचरा विल्हेवाटीसाठी पर्यावरणीय मानकांचे पालन न केल्यामुळे रशियन लोकांच्या आरोग्याच्या बिघडण्याबद्दल त्यांनी चिंता व्यक्त केली. डब्ल्यूएचओ युरोपियन ऑफिस फॉर इन्व्हेस्टमेंट इन हेल्थ येथील प्राध्यापक फ्रान्सिस्को झांबोना यांच्या भाषणामुळे त्याच्या भीतीची पुष्टी देखील झाली.
वैशिष्ट्यपूर्ण विनोदाने, आंद्रेईने प्रसिद्ध लोकांना संबोधित केले ज्यांना मंचावर आमंत्रित केले गेले होते, परंतु ते कधीही दिसले नाहीत, "निसर्ग लक्षात ठेवा, केवळ जेव्हा त्यांना बार्बेक्यू पाहिजे किंवा मासेमारीला जायचे असेल तेव्हाच नाही. शेवटी, संपूर्ण लोकांचे आरोग्य निसर्गाच्या उपकारावर अवलंबून असते, ज्यात दुर्दैवाने त्यांचा समावेश होतो.
आंद्रेई झिनोविविचच्या नवीन "प्रेमी-निसर्ग" आणि पर्यावरणाची जबाबदारी घेण्याचे महत्त्व याबद्दल उत्कट भाषणांव्यतिरिक्त, फोरमचा एक महत्त्वपूर्ण कार्यक्रम "नवीन पिढीला कसे शिक्षित करावे" या विषयावरील पूर्ण सत्र होते. केवळ मुलांनाच नव्हे तर प्रौढ पिढीलाही शिकवणे गरजेचे आहे, या मतावर मंचातील सहभागी एकमत होते. दैनंदिन व्यवहारात, तसेच व्यवसायात निसर्गाप्रती जबाबदारी प्रस्थापित करणे फार महत्वाचे आहे.
मॉस्कोसाठी "सुसंस्कृत पद्धतीने जगणे शिकणे" हा एक विशेष प्रकल्प सुरू केला जाईल. हा लोकसंख्येच्या सर्व विभागांसाठी आणि वयोगटांसाठी एक शैक्षणिक प्रकल्प आहे. परंतु सिद्धांत आणि चांगले हेतू कितीही आश्चर्यकारक असले तरीही, "जोपर्यंत कोंबडा भाजत नाही तोपर्यंत मूर्ख स्वतःला ओलांडणार नाही" ही म्हण अजूनही रशियासाठी प्रासंगिक आहे.
टिमोथी नेटर या प्रसिद्ध थिएटर दिग्दर्शकाच्या मते कला सर्व काही बदलू शकते. आपल्या एका भाषणात त्यांनी रंगभूमी-सिनेमातून निसर्ग जपण्याचा विचार कसा मांडला गेला पाहिजे आणि उद्या आपले आणि निसर्गाचे काय होणार याला जबाबदार राहण्यासाठी कलेच्या माध्यमातून लोकांना प्रबोधन करणे किती महत्त्वाचे आहे, याविषयी सांगितले.
रशियन विद्यापीठांतील विद्यार्थ्यांनी एक प्रकल्प सादर करून रेंटव्ही ऑपरेटर आणि आंद्रे प्रोकिरपा यांचे लक्ष वेधून घेतले. पर्यावरणास अनुकूल तंत्रज्ञानओलावा आणि तापमानाला प्रतिरोधक असलेल्या कंटेनरचे उत्पादन. ही एक अतिशय गंभीर समस्या आहे, कारण जगभरात प्लास्टिकच्या कंटेनरच्या विरोधात कायदे केले जात आहेत, ज्याचे विघटन, माती प्रदूषित आणि प्राण्यांच्या मृत्यूस कारणीभूत होण्यासाठी 30 वर्षांहून अधिक काळ लागतो.
हे उत्साहवर्धक आहे की मॉस्को हे C40 संस्थेतील 94 सहभागी शहरांपैकी एक आहे आणि फोरम आयोजित करण्याची ही तिसरी वेळ आहे, जी दरवर्षी अधिकाधिक प्रसिद्ध व्यक्ती आणि नागरिकांचे लक्ष वेधून घेते.

गणितामध्ये, त्रिकोणाचा विचार करताना, त्याच्या बाजूंवर बरेच लक्ष दिले जाते. कारण हे घटक ही भौमितिक आकृती तयार करतात. भूमितीच्या अनेक समस्या सोडवण्यासाठी त्रिकोणाच्या बाजूंचा वापर केला जातो.

संकल्पनेची व्याख्या

एकाच रेषेवर नसलेल्या तीन बिंदूंना जोडणाऱ्या खंडांना त्रिकोणाच्या बाजू म्हणतात. विचाराधीन घटक विमानाचा एक भाग मर्यादित करतात, ज्याला या भौमितिक आकृतीचे आतील भाग म्हणतात.

गणितज्ञ त्यांच्या गणनेत भौमितिक आकृत्यांच्या बाजूंच्या सामान्यीकरणास अनुमती देतात. अशाप्रकारे, क्षीण त्रिकोणामध्ये, त्याचे तीन विभाग एका सरळ रेषेवर असतात.

संकल्पनेची वैशिष्ट्ये

त्रिकोणाच्या बाजूंची गणना करताना आकृतीचे इतर सर्व पॅरामीटर्स निर्धारित करणे समाविष्ट आहे. या प्रत्येक विभागाची लांबी जाणून घेतल्यास, आपण परिमिती, क्षेत्रफळ आणि त्रिकोणाचे कोन देखील सहजपणे काढू शकता.

तांदूळ. 1. अनियंत्रित त्रिकोण.

दिलेल्या आकृतीच्या बाजूंची बेरीज करून, तुम्ही परिमिती निर्धारित करू शकता.

P=a+b+c, जेथे a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत

आणि त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी तुम्ही हेरॉनचे सूत्र वापरावे.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

जेथे p अर्ध-परिमिती आहे.

दिलेल्या भौमितिक आकृतीचे कोन कोसाइन प्रमेय वापरून मोजले जातात.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

अर्थ

या भौमितिक आकृतीचे काही गुणधर्म त्रिकोणाच्या बाजूंच्या गुणोत्तराद्वारे व्यक्त केले जातात:

• त्रिकोणाची सर्वात लहान बाजू म्हणजे त्याचा सर्वात लहान कोन.
• प्रश्नातील भौमितिक आकृतीचा बाह्य कोन एक बाजू वाढवून मिळवला जातो.
• विरुद्ध समान कोनत्रिकोणाला समान बाजू असतात.
• कोणत्याही त्रिकोणामध्ये, एक बाजू नेहमी इतर दोन खंडांच्या फरकापेक्षा मोठी असते. आणि या आकृतीच्या कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्यापेक्षा मोठी आहे.

दोन त्रिकोण समान असल्याच्या चिन्हांपैकी एक म्हणजे भौमितिक आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या बेरजेचे गुणोत्तर. जर ही मूल्ये समान असतील तर त्रिकोण समान असतील.

त्रिकोणाचे काही गुणधर्म त्याच्या प्रकारावर अवलंबून असतात. म्हणून, आपण प्रथम या आकृतीच्या बाजूंचा किंवा कोनांचा आकार विचारात घ्यावा.

त्रिकोण तयार करणे

प्रश्नातील भौमितिक आकृतीच्या दोन बाजू सारख्या असतील तर या त्रिकोणाला समद्विभुज म्हणतात.

तांदूळ. 2. समद्विभुज त्रिकोण.

जेव्हा त्रिकोणातील सर्व विभाग समान असतात, तेव्हा तुम्हाला एक समभुज त्रिकोण मिळेल.

तांदूळ. 3. समभुज त्रिकोण.

एखाद्या अनियंत्रित त्रिकोणाचे विशिष्ट प्रकार म्हणून वर्गीकरण केले जाऊ शकते अशा प्रकरणांमध्ये कोणतीही गणना करणे अधिक सोयीस्कर आहे. कारण नंतर या भौमितिक आकृतीचे आवश्यक पॅरामीटर शोधणे लक्षणीयरीत्या सरलीकृत होईल.

जरी योग्यरित्या निवडलेले त्रिकोणमितीय समीकरण आपल्याला अनेक समस्या सोडविण्यास अनुमती देते ज्यामध्ये अनियंत्रित त्रिकोण मानला जातो.

आम्ही काय शिकलो?

बिंदूंनी जोडलेले आणि एकाच सरळ रेषेचे नसलेले तीन विभाग एक त्रिकोण बनवतात. या बाजू भौमितिक समतल बनवतात, ज्याचा उपयोग क्षेत्र निश्चित करण्यासाठी केला जातो. या विभागांचा वापर करून, आपण परिमिती आणि कोन यांसारखी आकृतीची अनेक महत्त्वाची वैशिष्ट्ये शोधू शकता. त्रिकोणाचे गुणोत्तर त्याचा प्रकार शोधण्यात मदत करते. दिलेल्या भौमितिक आकृतीचे काही गुणधर्म केवळ त्याच्या प्रत्येक बाजूचे परिमाण माहित असल्यासच वापरले जाऊ शकतात.

विषयावर चाचणी

लेख रेटिंग

सरासरी रेटिंग: ४.३. एकूण मिळालेले रेटिंग: 142.

त्रिकोण ही एक भौमितिक संख्या असते ज्यामध्ये तीन विभाग असतात जे एकाच रेषेवर नसलेल्या तीन बिंदूंना जोडतात. त्रिकोण बनवणाऱ्या बिंदूंना त्याचे बिंदू म्हणतात आणि विभाग शेजारी असतात.

त्रिकोणाच्या प्रकारावर (आयताकृती, मोनोक्रोम इ.) अवलंबून, इनपुट डेटा आणि समस्येच्या परिस्थितीवर अवलंबून, आपण त्रिकोणाच्या बाजूची वेगवेगळ्या प्रकारे गणना करू शकता.

लेखासाठी द्रुत नेव्हिगेशन

काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंची गणना करण्यासाठी, पायथागोरियन प्रमेय वापरला जातो, जे सांगते की कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका आहे.

जर आपण पायांना "a" आणि "b" आणि कर्णांना "c" असे लेबल केले, तर पृष्ठे खालील सूत्रांसह आढळू शकतात:

काटकोन त्रिकोणाचे तीव्र कोन (a आणि b) ज्ञात असल्यास, त्याच्या बाजू खालील सूत्रांसह शोधल्या जाऊ शकतात:

क्रॉप केलेला त्रिकोण

त्रिकोणाला समभुज त्रिकोण म्हणतात ज्यात दोन्ही बाजू समान असतात.

दोन पायांमध्ये कर्ण कसे शोधायचे

जर "a" अक्षर समान पृष्ठाशी एकसारखे असेल तर, "b" हा पाया असेल, "b" हा पायाच्या विरुद्ध कोन असेल, "a" हा समीप कोन असेल तर पृष्ठांची गणना करण्यासाठी खालील सूत्रे वापरू शकता:

दोन कोपरे आणि एक बाजू

कोणत्याही त्रिकोणाचे एक पृष्ठ (c) आणि दोन कोन (a आणि b) ज्ञात असल्यास, उर्वरित पृष्ठांची गणना करण्यासाठी साइन सूत्र वापरला जातो:

तुम्हाला तिसरे मूल्य y = 180 - (a + b) शोधणे आवश्यक आहे कारण

त्रिकोणाच्या सर्व कोनांची बेरीज 180° आहे;

दोन बाजू आणि एक कोन

त्रिकोणाच्या दोन बाजू (a आणि b) आणि त्यांतील कोन (y) माहीत असल्यास, तिसरी बाजू काढण्यासाठी कोसाइन प्रमेय वापरता येतो.

काटकोन त्रिकोणाची परिमिती कशी ठरवायची

त्रिकोणी त्रिकोण एक त्रिकोण आहे, ज्यापैकी एक 90 अंश आहे आणि इतर दोन तीव्र आहेत. गणना परिमितीअशा त्रिकोणत्याबद्दल ज्ञात असलेल्या माहितीच्या प्रमाणात अवलंबून.

तुम्हाला ते लागेल

• केसवर अवलंबून, कौशल्य त्रिकोणाच्या 2 तीन बाजू, तसेच त्याच्या तीव्र कोनांपैकी एक.

सूचना

पहिलापद्धत 1. सर्व तीन पृष्ठे ज्ञात असल्यास त्रिकोणमग, लंब असो वा नॉन-त्रिकोणी, परिमिती अशी गणना केली जाते: P = A + B + C, जेथे शक्य असेल तेथे c कर्ण आहे; a आणि b पाय आहेत.

दुसरापद्धत 2.

जर आयताला फक्त दोन बाजू असतील, तर पायथागोरियन प्रमेय वापरून, त्रिकोणसूत्र वापरून गणना केली जाऊ शकते: P = v (a2 + b2) + a + b किंवा P = v (c2 - b2) + b + c.

तिसऱ्यापद्धत 3. कर्ण c आणि एक तीव्र कोन असू द्या? काटकोन त्रिकोण दिल्यास, अशा प्रकारे परिमिती शोधणे शक्य होईल: P = (1 + पाप?

चौथापद्धत 4. ​​ते म्हणतात की काटकोन त्रिकोणामध्ये एका पायाची लांबी a सारखी असते आणि त्याउलट, एक तीव्र कोन असतो. मग गणना करा परिमितीया त्रिकोणसूत्रानुसार चालते: P = a * (1 / tg?

१/मुलगा? + 1)

पाचवापद्धत 5.

ऑनलाइन त्रिकोण गणना

आमचा पाय पुढे होऊ द्या आणि त्यात समाविष्ट करा, नंतर श्रेणी अशी गणना केली जाईल: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

संबंधित व्हिडिओ

पायथागोरियन प्रमेय हा सर्व गणिताचा आधार आहे. खऱ्या त्रिकोणाच्या बाजूंमधील संबंध निश्चित करते. आता या प्रमेयाचे 367 पुरावे आहेत.

सूचना

पहिलापायथागोरियन प्रमेयाचे क्लासिक शालेय सूत्र असे दिसते: कर्णाचा वर्ग पायांच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो.

दोन Catets च्या काटकोन त्रिकोणात कर्ण शोधण्यासाठी, आपण पायांच्या लांबीचे वर्गीकरण करणे आवश्यक आहे, ते गोळा करणे आणि बेरीजचे वर्गमूळ घेणे आवश्यक आहे. त्याच्या विधानाच्या मूळ फॉर्म्युलेशनमध्ये, बाजार कर्णावर आधारित आहे, जे Catete ने उत्पादित केलेल्या 2 वर्गांच्या वर्गांच्या बेरजेइतके आहे. तथापि, आधुनिक बीजगणितीय फॉर्म्युलेशनमध्ये डोमेन प्रतिनिधित्वाचा परिचय आवश्यक नाही.

दुसराउदाहरणार्थ, काटकोन त्रिकोण ज्याचे पाय 7 सेमी आणि 8 सेमी आहेत.

मग, पायथागोरियन प्रमेयानुसार, चौरस कर्ण R + S = 49 + 64 = 113 सेमी आहे. कर्ण 113 क्रमांकाच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचे आहे.

काटकोन त्रिकोणाचे कोन

परिणाम एक निराधार संख्या होती.

तिसऱ्याजर त्रिकोणाचे पाय 3 आणि 4 असतील तर कर्ण = 25 = 5. जेव्हा तुम्ही वर्गमूळ घेता तेव्हा तुम्हाला एक नैसर्गिक संख्या मिळते. संख्या 3, 4, 5 एक पायगागोरियन ट्रिपलेट बनवतात, कारण ते x संबंध पूर्ण करतात? +Y? = Z, जे नैसर्गिक आहे.

पायथागोरियन ट्रिपलेटची इतर उदाहरणे आहेत: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

चौथाया प्रकरणात, पाय एकमेकांशी एकसारखे असल्यास, पायथागोरियन प्रमेय अधिक आदिम समीकरणात बदलते. उदाहरणार्थ, समजा असा हात A या संख्येच्या बरोबरीचा आहे आणि कर्ण C साठी परिभाषित केला आहे, आणि नंतर c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. या प्रकरणात तुम्हाला ए ची गरज नाही.

पाचवापायथागोरियन प्रमेय हे एक विशेष प्रकरण आहे, जे सामान्य कोसाइन प्रमेयापेक्षा मोठे आहे, जे त्रिकोणाच्या तीन बाजूंमधील संबंध प्रस्थापित करते.

टीप 2: पाय आणि कोनांसाठी कर्ण कसे ठरवायचे

कर्ण ही काटकोन त्रिकोणातील बाजू आहे जी 90 अंश कोनाच्या विरुद्ध आहे.

सूचना

पहिलाज्ञात कॅथेटरच्या बाबतीत, तसेच काटकोन त्रिकोणाच्या तीव्र कोनाच्या बाबतीत, कर्णाचा आकार लेग आणि या कोनाच्या कोसाइन/साइनच्या गुणोत्तराइतका असू शकतो, जर कोन विरुद्ध असेल / ई असेल तर: H = C1 (किंवा C2) / पाप, H = C1 (किंवा C2?) / cos?. उदाहरण: ABC ला कर्ण AB आणि काटकोन C सह एक अनियमित त्रिकोण द्या.

B 60 अंश आणि A 30 अंश असू द्या. बीसी स्टेमची लांबी 8 सेमी आहे. कर्ण AB ची लांबी शोधली पाहिजे. हे करण्यासाठी तुम्ही वरीलपैकी एक पद्धत वापरू शकता: AB = BC / cos60 = 8 सेमी. AB = BC / sin30 = 8 सेमी.

कर्ण ही आयताची सर्वात लांब बाजू आहे त्रिकोण. हे काटकोनात स्थित आहे. आयताचे कर्ण शोधण्याची पद्धत त्रिकोणस्त्रोत डेटावर अवलंबून.

सूचना

पहिलाजर तुमचे पाय लंब असतील त्रिकोण, नंतर आयताच्या कर्णाची लांबी त्रिकोणपायथागोरियन अॅनालॉगद्वारे शोधले जाऊ शकते - कर्णाच्या लांबीचा चौरस पायांच्या लांबीच्या चौरसांच्या बेरजेइतका आहे: c2 = a2 + b2, जेथे a आणि b ही उजव्या पायांची लांबी आहे त्रिकोण .

दुसराजर पायांपैकी एक ज्ञात असेल आणि तीव्र कोनात असेल, तर कर्ण शोधण्याचे सूत्र ज्ञात पायाच्या संबंधात विशिष्ट कोनात उपस्थिती किंवा अनुपस्थितीवर अवलंबून असेल - समीप (पाय जवळ स्थित आहे), किंवा उलट ( विरुद्ध केस nego स्थित आहे. निर्दिष्ट कोनाचा V कोसाइन कोनातील लेगच्या अंश कर्णाच्या बरोबरीचा आहे: a = a/cos;E, दुसरीकडे, कर्ण साइन कोनांच्या गुणोत्तराप्रमाणे आहे: da = a/sin.

संबंधित व्हिडिओ

उपयुक्त टिप्स
एक टोकदार त्रिकोण ज्याच्या बाजू 3:4:5 असा संबंधित आहेत, ज्याला इजिप्शियन डेल्टा म्हणतात कारण या आकृत्या प्राचीन इजिप्तच्या वास्तुविशारदांनी मोठ्या प्रमाणात वापरल्या होत्या.

हे जेरोच्या त्रिकोणाचे सर्वात सोपे उदाहरण देखील आहे, ज्यामध्ये पृष्ठे आणि क्षेत्र पूर्णांकांद्वारे दर्शविले जाते.

त्रिकोणाला आयत म्हणतात ज्याचा कोन 90° आहे. उजव्या कोपऱ्याच्या विरुद्ध बाजूस कर्ण म्हणतात, दुसऱ्याला पाय म्हणतात.

नियमित त्रिकोणांच्या काही गुणधर्मांनी काटकोन त्रिकोण कसा तयार होतो हे शोधायचे असल्यास, म्हणजे तीव्र कोनांची बेरीज 90° आहे, जी वापरली जाते आणि विरुद्ध पायाची लांबी कर्णाच्या अर्धी आहे हे तथ्य. 30° आहे.

लेखासाठी द्रुत नेव्हिगेशन

क्रॉप केलेला त्रिकोण

समान त्रिकोणाच्या गुणधर्मांपैकी एक म्हणजे त्याचे दोन कोन समान असतात.

उजव्या समरूप त्रिकोणाच्या कोनाची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला हे माहित असणे आवश्यक आहे:

• हे 90° पेक्षा वाईट नाही.
• तीव्र कोनांची मूल्ये सूत्राद्वारे निर्धारित केली जातात: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, म्हणजे.

  कोन α आणि β 45° समान आहेत.

तर ज्ञात मूल्यतीव्र कोनांपैकी एक ज्ञात आहे, दुसरा सूत्र वापरून शोधला जाऊ शकतो: β = 180º-90º-α किंवा α = 180º-90º-β.

हे गुणोत्तर बहुतेक वेळा वापरले जाते जर एक कोन 60° किंवा 30° असेल.

मुख्य संकल्पना

त्रिकोणाच्या अंतर्गत कोनांची बेरीज 180° आहे.

कारण ती एक पातळी आहे, दोन तीक्ष्ण राहतात.

ऑनलाइन त्रिकोणाची गणना करा

आपण त्यांना शोधू इच्छित असल्यास, आपल्याला हे माहित असणे आवश्यक आहे:

इतर पद्धती

काटकोन त्रिकोणाच्या तीव्र कोनांची मूल्ये सरासरीवरून काढली जाऊ शकतात - त्रिकोणाच्या विरुद्ध बाजूस असलेल्या एका बिंदूपासून रेषा आणि उंची - रेषा ही कर्णापासून काटकोनात काढलेली लंब असते. .

मध्यक उजव्या कोपऱ्यापासून कर्णाच्या मध्यापर्यंत वाढू द्या आणि h ही उंची असू द्या. या प्रकरणात असे दिसून येते की:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

दोन पाने

जर कर्णाची लांबी आणि एक पाय काटकोन त्रिकोणात किंवा दोन्ही बाजूंना ज्ञात असेल, तर तीव्र कोनांची मूल्ये निर्धारित करण्यासाठी त्रिकोणमितीय ओळख वापरल्या जातात:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a/b), β = arctan (b/a).

काटकोन त्रिकोणाची लांबी

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि क्षेत्रफळ

परिमिती

कोणत्याही त्रिकोणाचा घेर हा तिन्ही बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेइतका असतो. त्रिकोणी त्रिकोण शोधण्याचे सामान्य सूत्र आहे:

जेथे P हा त्रिकोणाचा घेर आहे, त्याच्या बाजूंचा a, b आणि c आहे.

समान त्रिकोणाची परिमितीत्याच्या बाजूंची लांबी क्रमिकपणे एकत्र करून किंवा बाजूच्या लांबीचा 2 ने गुणाकार करून आणि उत्पादनामध्ये मूळ लांबी जोडून शोधले जाऊ शकते.

समतोल त्रिकोण शोधण्याचे सामान्य सूत्र असे दिसेल:

जेथे P हा समान त्रिकोणाचा परिमिती आहे, परंतु एकतर b, b हा पाया आहे.

समभुज त्रिकोणाची परिमितीत्याच्या बाजूंची लांबी अनुक्रमिकपणे एकत्रित करून किंवा कोणत्याही पृष्ठाची लांबी 3 ने गुणाकार करून शोधली जाऊ शकते.

समभुज त्रिकोणांची रिम शोधण्याचे सामान्य सूत्र असे दिसेल:

जेथे P हा समभुज त्रिकोणाचा परिमिती आहे, a त्याची कोणतीही बाजू आहे.

प्रदेश

जर तुम्हाला त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजायचे असेल तर तुम्ही त्याची तुलना समांतरभुज चौकोनाशी करू शकता. ABC त्रिकोणाचा विचार करा:

जर आपण समान त्रिकोण घेतला आणि तो निश्चित केला म्हणजे आपल्याला समांतरभुज चौकोन मिळेल, तर आपल्याला या त्रिकोणाप्रमाणेच उंची आणि पाया असलेला समांतरभुज चौकोन मिळेल:

या प्रकरणात, त्रिकोणांची सामान्य बाजू मोल्ड केलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णाच्या बाजूने एकत्र दुमडलेली असते.

समांतरभुज चौकोनाच्या गुणधर्मावरून. हे ज्ञात आहे की समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण नेहमी दोनने भागतात. समान त्रिकोण, तर प्रत्येक त्रिकोणाचा पृष्ठभाग समांतरभुज चौकोनाच्या अर्ध्या श्रेणीइतका असतो.

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ त्याच्या पायाच्या उंचीच्या गुणाकाराइतकेच असल्याने, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ या गुणाकाराच्या निम्म्याएवढे असेल. अशा प्रकारे, ΔABC साठी क्षेत्र समान असेल

आता काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा:

दोन समान काटकोन त्रिकोण त्यांच्या विरुद्ध झुकल्यास आयतामध्ये वाकले जाऊ शकतात, जे एकमेकांचे कर्ण आहेत.

आयताची पृष्ठभाग समीप बाजूंच्या पृष्ठभागाशी एकरूप असल्याने, या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ समान आहे:

यावरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की कोणत्याही काटकोन त्रिकोणाची पृष्ठभाग 2 ने भागलेल्या पायांच्या गुणाकाराच्या समान असते.

या उदाहरणांवरून असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की प्रत्येक त्रिकोणाची पृष्ठभाग लांबीच्या गुणाकाराइतकीच असते आणि उंची 2 ने भागलेल्या सब्सट्रेटपर्यंत कमी होते.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सामान्य सूत्र असे दिसेल:

जेथे S त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे, परंतु त्याचा पाया आहे, परंतु उंची तळाशी येते a.