Segitiga Mesir yang menakjubkan ini.

>>Geometri: segi tiga mesir. Pelajaran Lengkap

Topik pelajaran

Objektif Pelajaran

Berkenalan dengan definisi baharu dan ingat beberapa yang telah dipelajari.
Mendalami ilmu geometri, mengkaji sejarah asal usul.
Untuk memantapkan pengetahuan teori pelajar tentang segitiga dalam aktiviti amali.
Untuk memperkenalkan pelajar kepada segi tiga Mesir dan aplikasinya dalam pembinaan.
Belajar mengaplikasikan sifat-sifat bentuk dalam menyelesaikan masalah.
Membangunkan - untuk mengembangkan perhatian pelajar, ketabahan, ketabahan, pemikiran logik, ucapan matematik.
Pendidikan - melalui pelajaran, untuk memupuk sikap penuh perhatian terhadap satu sama lain, untuk menanamkan keupayaan untuk mendengar rakan seperjuangan, bantuan bersama, kemerdekaan.

Objektif pelajaran

Semak kebolehan pelajar menyelesaikan masalah.

Pelan pembelajaran

pengenalan.
Sedap untuk diingati.
Segi tiga.

pengenalan

Adakah orang Mesir purba tahu matematik dan geometri? Mereka bukan sahaja tahu, tetapi juga sentiasa menggunakannya untuk mencipta karya seni bina dan juga ... dalam penandaan tahunan bidang di mana air memusnahkan semua sempadan semasa banjir. Malah terdapat perkhidmatan khas juruukur tanah yang cepat memulihkan sempadan padang dengan bantuan teknik geometri apabila air surut.

Masih belum diketahui apa yang akan kita panggil generasi muda kita, yang membesar pada komputer yang membolehkan kita tidak menghafal jadual pendaraban dan tidak melakukan pengiraan matematik asas lain atau pembinaan geometri dalam fikiran kita. Mungkin robot manusia atau cyborg. Orang Yunani, sebaliknya, memanggil mereka yang tidak dapat membuktikan teorem mudah tanpa bantuan luar, profan. Oleh itu, tidak menghairankan bahawa teorem itu, yang digunakan secara meluas dalam sains gunaan, termasuk untuk menandakan medan atau membina piramid, dipanggil oleh orang Yunani kuno sebagai "jambatan keldai". Dan mereka tahu matematik Mesir dengan baik.

Sedap untuk diingati

Segi tiga

Segi tiga rectilinear, bahagian satah yang dibatasi oleh tiga segmen garis (sisi Segitiga (dalam geometri)), mempunyai berpasangan satu hujung sepunya (bucu Segitiga (dalam geometri)). Segi tiga di mana panjang semua sisi adalah sama dipanggil sama sisi, atau betul, Segitiga dengan dua sisi yang sama - sama kaki. Segitiga dipanggil bersudut akut jika semua sudutnya adalah akut; segi empat tepat- jika salah satu sudutnya betul; bodoh- jika salah satu sudutnya tumpul. Segitiga (dalam geometri) tidak boleh mempunyai lebih daripada satu sudut tegak atau tumpul, kerana hasil tambah ketiga-tiga sudut adalah sama dengan dua sudut tegak (180° atau, dalam radian, p). Luas Segitiga (dalam geometri) adalah sama dengan ah/2, di mana a ialah mana-mana sisi Segitiga yang diambil sebagai tapaknya, dan h ialah ketinggian yang sepadan. Sisi Segitiga tertakluk kepada syarat: panjang setiap satu daripadanya adalah kurang daripada jumlah dan lebih besar daripada perbezaan panjang dua sisi yang lain.

Segi tiga- poligon paling mudah, mempunyai 3 bucu (bucu) dan 3 sisi; bahagian satah yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan.

Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada satu garis lurus sepadan dengan satu dan hanya satu satah.
Mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada segi tiga - proses ini dipanggil triangulasi.
Terdapat bahagian matematik yang ditumpukan sepenuhnya kepada kajian corak segi tiga - Trigonometri.

Jenis segitiga

Mengikut jenis sudut

Oleh kerana jumlah sudut segitiga ialah 180°, sekurang-kurangnya dua sudut dalam segitiga mestilah akut (kurang daripada 90°). Terdapat jenis segitiga berikut:

Jika semua sudut segitiga adalah akut, maka segitiga itu dipanggil akut;
Jika salah satu sudut segi tiga itu tumpul (lebih daripada 90°), maka segitiga itu dipanggil tumpul;
Jika salah satu sudut segitiga adalah tegak (sama dengan 90°), maka segitiga itu dipanggil segi tiga tegak. Kedua-dua sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki, dan sisi yang bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus.

Dengan bilangan sisi yang sama

Segitiga dipanggil skala jika panjang tiga sisi berbeza berpasangan.
Segitiga sama kaki ialah satu di mana dua sisi adalah sama. Sisi ini dipanggil sisi, sisi ketiga dipanggil pangkalan. Dalam segi tiga sama kaki, sudut di tapak adalah sama. Ketinggian, median dan pembahagi bagi segi tiga sama kaki, diturunkan ke tapak, adalah sama.
Segitiga sama sisi ialah segitiga yang ketiga-tiga sisinya adalah sama. Dalam segi tiga sama sisi, semua sudut adalah sama dengan 60 °, dan pusat-pusat bulatan yang ditulis dan dihadkan bertepatan.

- segi tiga tepat dengan nisbah bidang 3:4:5. Jumlah nombor ini (3+4+5=12) telah digunakan sejak zaman purba sebagai unit kepelbagaian apabila membina sudut tegak menggunakan tali yang ditandakan dengan simpulan pada 3/12 dan 7/12 panjangnya. Segitiga Mesir digunakan dalam seni bina Zaman Pertengahan untuk membina skema perkadaran.

Jadi di mana anda bermula? Adakah dari ini: 3 + 5 = 8. dan nombor 4 adalah separuh daripada nombor 8. Berhenti! Nombor 3, 5, 8... Nampak tak familiar sangat? Sudah tentu, mereka berkaitan secara langsung dengan nisbah emas dan termasuk dalam apa yang dipanggil "baris emas": 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... Dalam siri ini, setiap sebutan berikutnya adalah sama dengan jumlah dua sebutan sebelumnya: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 dan sebagainya. Ternyata segitiga Mesir ada kaitan dengan nisbah emas? Dan adakah orang Mesir purba tahu apa yang mereka hadapi? Tetapi janganlah kita membuat kesimpulan. Ia adalah perlu untuk mengetahui butiran dengan lebih tepat.

Ungkapan " nisbah emas”, menurut beberapa orang, mula diperkenalkan pada abad ke-15 Leonardo da Vinci . Tetapi "baris emas" itu sendiri dikenali pada tahun 1202, apabila ia pertama kali diterbitkan dalam "Buku Akaun"nya oleh seorang ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa . Digelar Fibonacci. Walau bagaimanapun, hampir dua ribu tahun sebelum mereka, nisbah emas diketahui Pythagoras dan murid-muridnya. Benar, ia dipanggil secara berbeza, sebagai "pembahagian dalam nisbah pertengahan dan melampau." Dan inilah segitiga Mesir dengannya "Nisbah emas" diketahui pada zaman dahulu apabila piramid dibina di Mesir apabila Atlantis berkembang.

Untuk membuktikan teorem segi tiga Mesir, perlu menggunakan segmen garis lurus yang diketahui panjangnya A-A1 (Rajah). Ia akan berfungsi sebagai skala, unit ukuran, dan akan membolehkan anda menentukan panjang semua sisi segi tiga. Tiga segmen A-A1 adalah sama panjang dengan sisi terkecil dari segi tiga BC, di mana nisbahnya ialah 3. Dan empat segmen A-A1 adalah sama panjang dengan sisi kedua, di mana nisbahnya dinyatakan oleh nombor 4. Dan, akhirnya, panjang sisi ketiga adalah sama dengan lima segmen A -A1. Dan kemudian, seperti yang mereka katakan, soal teknologi. Di atas kertas, lukiskan segmen BC, iaitu sisi terkecil bagi segi tiga itu. Kemudian, dari titik B dengan jejari sama dengan segmen dengan nisbah 5, kami melukis lengkok bulatan dengan kompas, dan dari titik C, lengkok bulatan dengan jejari sama dengan panjang segmen dengan nisbah 4. Jika sekarang titik persilangan lengkok disambungkan dengan garisan dengan titik B dan C, maka kita mendapat nisbah aspek segi tiga tepat 3:4:5.

Q.E.D.

Segitiga Mesir digunakan dalam seni bina Zaman Pertengahan untuk membina skema perkadaran dan membina sudut tepat oleh juruukur tanah dan arkitek. Segitiga Mesir adalah yang paling mudah (dan pertama kali diketahui) daripada segi tiga Heronian - segi tiga dengan sisi dan kawasan integer.

Segitiga Mesir - misteri zaman dahulu

Setiap daripada anda tahu bahawa Pythagoras adalah seorang ahli matematik yang hebat yang memberikan sumbangan yang tidak ternilai kepada pembangunan algebra dan geometri, tetapi dia mendapat lebih kemasyhuran berkat teoremnya.

Dan Pythagoras menemui teorem segitiga Mesir pada masa dia kebetulan melawat Mesir. Semasa berada di negara ini, saintis itu terpesona dengan kemegahan dan keindahan piramid. Mungkin ini adalah dorongan yang membuatkan dia berfikir bahawa beberapa corak pasti telah dikesan dengan jelas dalam bentuk piramid.

Sejarah penemuan

Nama segitiga Mesir adalah disebabkan oleh Hellenes dan Pythagoras, yang sering menjadi tetamu di Mesir. Dan ia berlaku sekitar abad ke-7-5 SM. e.

Piramid terkenal Cheops, sebenarnya, adalah poligon segi empat tepat, tetapi segitiga suci Mesir dianggap sebagai piramid Khafre.

Penduduk Mesir membandingkan sifat segitiga Mesir, seperti yang ditulis Plutarch, dengan perapian keluarga. Dalam tafsiran mereka, seseorang boleh mendengar bahawa dalam angka geometri ini, kaki menegaknya melambangkan seorang lelaki, pangkal angka itu adalah kepunyaan feminin, dan hipotenus piramid itu diberikan peranan seorang kanak-kanak.

Dan dari topik yang dipelajari, anda sedar bahawa nisbah aspek angka ini ialah 3:4:5 dan, oleh itu, ini membawa kita kepada teorem Pythagoras, kerana 32 + 42 = 52.

Dan jika kita mengambil kira bahawa segitiga Mesir terletak di dasar piramid Khafre, maka kita dapat menyimpulkan bahawa orang-orang dunia purba mengetahui teorem yang terkenal lama sebelum ia dirumuskan oleh Pythagoras.

Ciri utama segitiga Mesir, kemungkinan besar, adalah nisbah sisi yang khas, yang merupakan yang pertama dan paling mudah dari segi tiga Heronian, kerana kedua-dua sisi dan kawasannya mempunyai integer.

Ciri-ciri segitiga Mesir

Dan sekarang mari kita lihat dengan lebih dekat ciri-ciri tersendiri segitiga Mesir:

• Pertama, seperti yang telah kami katakan, semua sisi dan luasnya terdiri daripada integer;

• Kedua, dengan teorem Pythagoras kita tahu bahawa jumlah kuasa dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus;

• Ketiga, dengan bantuan segitiga sedemikian adalah mungkin untuk mengukur sudut tepat di ruang angkasa, yang sangat mudah dan diperlukan dalam pembinaan struktur. Dan kemudahannya terletak pada fakta bahawa kita tahu bahawa segitiga ini adalah segi tiga tepat.

• Keempat, seperti yang kita juga sedia maklum bahawa walaupun tiada alat pengukur yang sesuai, maka segi tiga ini boleh dibina dengan mudah menggunakan tali yang ringkas.

Aplikasi segitiga Mesir

Pada zaman dahulu, segitiga Mesir sangat popular dalam seni bina dan pembinaan. Ia amat diperlukan jika, untuk membina sudut tepat gunakan tali atau tali.

Lagipun, diketahui bahawa meletakkan sudut tepat di angkasa adalah tugas yang agak sukar, dan oleh itu orang Mesir yang giat mencipta cara yang menarik untuk membina sudut tepat. Untuk tujuan ini, mereka mengambil tali, di mana dua belas bahagian genap ditandakan dengan simpulan, dan kemudian segitiga dilipat dari tali ini, dengan sisi yang sama dengan 3, 4 dan 5 bahagian, dan sebagai hasilnya, tanpa sebarang masalah. , mereka mendapat segi tiga tepat. Terima kasih kepada alat yang begitu rumit, orang Mesir mengukur tanah untuk kerja pertanian dengan sangat tepat, membina rumah dan piramid.

Beginilah cara melawat Mesir dan mengkaji ciri-ciri piramid Mesir mendorong Pythagoras menemui teoremnya, yang, dengan cara itu, masuk ke dalam Buku Rekod Guinness sebagai teorem yang mempunyai jumlah bukti terbesar.

Roda segi tiga Reuleaux

roda- bulat (sebagai peraturan), bebas berputar atau dipasang pada cakera paksi, yang membolehkan badan diletakkan di atasnya untuk bergolek dan bukannya gelongsor. Roda digunakan secara meluas dalam pelbagai mekanisme dan alat. Digunakan secara meluas untuk pengangkutan kargo.

Roda dengan ketara mengurangkan kos tenaga untuk menggerakkan beban pada permukaan yang agak rata. Apabila menggunakan roda, kerja dilakukan terhadap daya geseran bergolek, yang di bawah keadaan jalan buatan adalah jauh lebih kecil daripada daya geseran gelongsor. Roda adalah pepejal (contohnya, set roda kereta api) dan terdiri daripada agak sebilangan besar bahagian, contohnya, roda kereta termasuk cakera, rim, tayar, kadangkala kamera, bolt pelekap, dsb. Kehausan tayar kereta hampir menyelesaikan masalah (dengan menetapkan sudut roda dengan betul). tayar moden perjalanan lebih 100,000 km. Masalah yang tidak dapat diselesaikan ialah haus tayar pada roda pesawat. Apabila roda pegun bersentuhan dengan permukaan konkrit landasan pada kelajuan beberapa ratus kilometer sejam, haus tayar adalah sangat besar.

Pada Julai 2001, paten inovatif telah diperolehi untuk roda dengan perkataan berikut: "peranti bulat yang digunakan untuk mengangkut barang." Paten ini telah dikeluarkan kepada John Cao, seorang peguam dari Melbourne, yang ingin menunjukkan ketidaksempurnaan undang-undang paten Australia.
Syarikat Perancis Michelin pada tahun 2009 telah membangunkan Active Wheel yang dihasilkan secara besar-besaran dengan motor elektrik terbina dalam yang memacu roda, spring, penyerap hentak dan brek. Oleh itu, roda ini menjadikan sistem kenderaan berikut tidak diperlukan: enjin, klac, kotak gear, pembezaan, pemacu dan aci kardan.
Pada tahun 1959, A. Sfredd Amerika menerima paten untuk roda persegi. Ia dengan mudah berjalan melalui salji, pasir, lumpur, mengatasi lubang. Bertentangan dengan ketakutan, kereta pada roda sedemikian tidak "lemas" dan mengembangkan kelajuan sehingga 60 km / j.

Franz Relo(Franz Reuleaux, 30 September 1829 - 20 Ogos 1905) - Jurutera mekanikal Jerman, pensyarah di Akademi Teknologi Diraja Berlin, yang kemudiannya menjadi presidennya. Yang pertama, pada tahun 1875, beliau membangunkan dan menggariskan peruntukan utama struktur dan kinematik mekanisme; menangani masalah estetika objek teknikal, reka bentuk perindustrian, dalam reka bentuknya yang dia berikan sangat penting bentuk luaran mesin. Reuleaux sering dipanggil bapa kinematik.

Soalan

Apakah segi tiga?
Jenis segitiga?
Apakah keistimewaan segitiga Mesir?
Di manakah segitiga Mesir digunakan? > Matematik Darjah 8

Setiap orang yang mendengar dengan penuh perhatian guru geometri di sekolah sangat mengenali apa itu segitiga Mesir. Ia berbeza daripada jenis lain yang serupa dengan sudut 90 darjah dengan nisbah aspek khas. Apabila seseorang mula-mula mendengar frasa "segitiga Mesir", gambar piramid dan firaun yang megah terlintas di fikiran. Dan apa yang dikatakan sejarah?

Seperti yang selalu berlaku, terdapat beberapa teori mengenai nama "segitiga Mesir". Menurut salah seorang daripada mereka, teorem Pythagoras yang terkenal melihat cahaya dengan tepat kerana angka ini. Pada tahun 535 SM. Pythagoras, mengikut cadangan Thales, pergi ke Mesir untuk mengisi beberapa jurang dalam pengetahuan matematik dan astronomi. Di sana dia menarik perhatian kepada keanehan kerja juruukur Mesir. Mereka dibina dengan cara yang sangat luar biasa dengan sudut tepat, sisi yang saling berkaitan antara satu sama lain dalam nisbah 3-4-5. Siri matematik ini menjadikannya agak mudah untuk menyambung petak ketiga-tiga sisi dengan satu peraturan. Ini adalah bagaimana teorem yang terkenal itu timbul. Dan segitiga Mesir adalah tepat angka yang mendorong Pythagoras kepada penyelesaian yang paling bijak. Menurut data sejarah lain, orang Yunani memberikan nama kepada angka itu: pada masa itu mereka sering melawat Mesir, di mana mereka boleh berminat dengan kerja juruukur tanah. Terdapat kemungkinan bahawa, seperti yang sering berlaku dengan penemuan saintifik, kedua-dua cerita berlaku pada masa yang sama, jadi mustahil untuk mengatakan dengan pasti siapa yang muncul dengan nama "segitiga Mesir" terlebih dahulu. Ciri-cirinya menakjubkan dan, sudah tentu, tidak terhad kepada nisbah aspek sahaja. Luas dan sisinya diwakili oleh nombor bulat. Disebabkan ini, penggunaan teorem Pythagoras padanya membolehkan kita memperoleh nombor integer kuasa dua hipotenus dan kaki: 9-16-25. Sudah tentu, ini mungkin hanya kebetulan. Tetapi bagaimana, kemudian, untuk menjelaskan fakta bahawa orang Mesir menganggap segitiga "mereka" suci? Mereka percaya pada hubungannya dengan seluruh alam semesta.

Selepas maklumat tentang angka geometri yang luar biasa ini diketahui umum, dunia mula mencari segi tiga lain yang serupa dengan sisi integer. Ia adalah jelas bahawa mereka wujud. Tetapi kepentingan soalan itu bukan hanya untuk melakukan pengiraan matematik, tetapi untuk menguji sifat "suci". Orang Mesir, untuk semua keanehan mereka, tidak pernah dianggap bodoh - saintis masih tidak dapat menjelaskan dengan tepat bagaimana piramid dibina. Dan di sini, tiba-tiba, hubungan dengan Alam dan Alam Semesta dikaitkan dengan sosok biasa. Dan, sesungguhnya, cuneiform yang ditemui mengandungi petunjuk segi tiga yang serupa dengan sisi yang saiznya diterangkan dengan nombor 15 digit. Pada masa ini, segitiga Mesir, yang sudutnya 90 (kanan), 53 dan 37 darjah, ditemui di tempat yang tidak dijangka sama sekali. Sebagai contoh, apabila mengkaji tingkah laku molekul air biasa, ternyata perubahan itu disertai dengan penstrukturan semula konfigurasi spatial molekul, di mana seseorang dapat melihat ... segitiga Mesir yang sama. Jika kita ingat bahawa ia terdiri daripada tiga atom, maka kita boleh bercakap tentang tiga sisi bersyarat. Sudah tentu, kita tidak bercakap tentang kebetulan lengkap nisbah yang terkenal, tetapi nombor yang terhasil sangat dekat dengan yang dikehendaki. Adakah kerana orang Mesir mengiktiraf segitiga "3-4-5" mereka sebagai kunci simbolik kepada fenomena semulajadi dan rahsia alam semesta? Lagipun, air, seperti yang anda tahu, adalah asas kehidupan. Tidak dinafikan, masih terlalu awal untuk menamatkan kajian tokoh terkenal Mesir itu. Sains tidak pernah tergesa-gesa membuat kesimpulan, berusaha untuk membuktikan andaiannya. Dan kita hanya boleh menunggu dan terkejut dengan pengetahuan itu

Katakan kita mempunyai garis yang perlu kita tetapkan serenjang, i.e. garis lain pada sudut 90 darjah berbanding dengan yang pertama. Atau kita mempunyai sudut (contohnya, sudut bilik) dan kita perlu menyemak sama ada ia sama dengan 90 darjah.

Semua ini boleh dilakukan dengan hanya pita pengukur dan pensel.

Terdapat dua perkara hebat seperti "Segitiga Mesir" dan teorem Pythagoras yang akan membantu kita dengan ini.

Jadi, segi tiga mesir ialah segi tiga tegak dengan nisbah semua sisi sama dengan 3:4:5 (kaki 3: kaki 4: hipotenus 5).

Segitiga Mesir secara langsung berkaitan dengan teorem Pythagoras - jumlah segi empat sama kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus (3*3 + 4*4 = 5*5).

Bagaimanakah ini boleh membantu kita? Semuanya sangat mudah.

Tugas nombor 1. Anda perlu melukis serenjang dengan garis lurus (contohnya, garis pada 90 darjah ke dinding).

Langkah 1. Untuk melakukan ini, dari titik No. 1 (di mana sudut kami akan berada) anda perlu mengukur pada garis ini sebarang jarak yang merupakan gandaan tiga atau empat - ini akan menjadi kaki pertama kami (masing-masing sama dengan tiga atau empat bahagian) , kita dapat mata No. 2.

Untuk memudahkan pengiraan, anda boleh mengambil jarak, contohnya 2m (ini adalah 4 bahagian 50cm setiap satu).

Langkah 2. Kemudian, dari titik yang sama No. 1, kami mengukur 1.5 m (3 bahagian 50 cm setiap satu) ke atas (tetapkan anggaran serenjang), lukis garis (hijau).

Langkah 3. Sekarang dari titik nombor 2 anda perlu meletakkan tanda pada garisan hijau pada jarak 2.5m (5 bahagian 50cm). Persilangan tanda ini akan menjadi titik nombor 3 kami.

Dengan menyambungkan titik No. 1 dan No. 3, kita mendapat garis yang berserenjang dengan garisan pertama kita.

Tugas nombor 2. Keadaan kedua- terdapat sudut dan anda perlu menyemak sama ada ia lurus.

Ini dia, sudut kami. Lebih mudah untuk menyemak dengan segi empat sama besar. Dan jika dia tidak?