In questo argomento considereremo il concetto di matrice, nonché i tipi di matrici. Poiché ci sono molti termini in questo argomento, aggiungerò riepilogo per facilitare la navigazione nel materiale.
Definizione di matrice e suo elemento. Notazione.
Matriceè una tabella con $m$ righe e $n$ colonne. Gli elementi di una matrice possono essere oggetti di natura completamente diversa: numeri, variabili o, ad esempio, altre matrici. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ha 3 righe e 2 colonne; i suoi elementi sono numeri interi. La matrice $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contiene 2 righe e 4 colonne.
Diversi modi per scrivere matrici: mostra\nascondi
La matrice può essere scritta non solo tra parentesi tonde, ma anche tra parentesi quadre o doppie diritte. Di seguito è riportata la stessa matrice in notazione diversa:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
Viene chiamato il prodotto $m\volte n$ dimensione della matrice. Ad esempio, se la matrice contiene 5 righe e 3 colonne, allora si parla di matrice $5\volte 3$. La matrice $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ha dimensione $3 \times 2$.
Le matrici sono generalmente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino: $A$, $B$, $C$ e così via. Ad esempio, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numerazione delle righe va dall'alto verso il basso; colonne - da sinistra a destra. Ad esempio, la prima riga della matrice $B$ contiene gli elementi 5 e 3 e la seconda colonna contiene gli elementi 3, -87, 0.
Gli elementi delle matrici sono generalmente indicati con lettere minuscole. Ad esempio, gli elementi della matrice $A$ sono indicati con $a_(ij)$. Il doppio indice $ij$ contiene informazioni sulla posizione dell'elemento nella matrice. Il numero $i$ è il numero della riga e il numero $j$ è il numero della colonna, all'intersezione della quale si trova l'elemento $a_(ij)$. Ad esempio, all'intersezione della seconda riga e della quinta colonna della matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $ a_(25)= $59:
Allo stesso modo, all'intersezione della prima riga e della prima colonna, abbiamo l'elemento $a_(11)=51$; all'intersezione della terza riga e della seconda colonna - l'elemento $a_(32)=-15$ e così via. Si noti che $a_(32)$ viene letto come "un tre due" ma non come "un trentadue".
Per la designazione abbreviata della matrice $A$, la cui dimensione è pari a $m\volte n$, si utilizza la notazione $A_(m\volte n)$. Viene spesso utilizzata la seguente notazione:
$$ A_(m\volte(n))=(a_(ij)) $$
Qui $(a_(ij))$ indica la designazione degli elementi della matrice $A$, cioè dice che gli elementi della matrice $A$ sono indicati come $a_(ij)$. In forma espansa, la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ può essere scritta come segue:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
Introduciamo un altro termine - matrici uguali.
Vengono chiamate due matrici della stessa dimensione $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ pari se i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè $a_(ij)=b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.
Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: mostra\nascondi
La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la voce $i=\overline(1,5)$ indica che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.
Quindi, per l'uguaglianza delle matrici, sono richieste due condizioni: la coincidenza delle dimensioni e l'uguaglianza degli elementi corrispondenti. Ad esempio, la matrice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ non è uguale alla matrice $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ perché la matrice $A$ è $3\times 2$ e la matrice $B$ è $2\volte 2$. Anche la matrice $A$ non è uguale alla matrice $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ perché $a_( 21)\neq c_(21)$ (ovvero $0\neq 98$). Ma per la matrice $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, possiamo tranquillamente scrivere $A =F$ perché coincidono sia le grandezze che gli elementi corrispondenti delle matrici $A$ e $F$.
Esempio 1
Determina la dimensione della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Specifica a cosa sono uguali gli elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Questa matrice contiene 5 righe e 3 colonne, quindi la sua dimensione è $5\volte 3$. La notazione $A_(5\times 3)$ può essere utilizzata anche per questa matrice.
L'elemento $a_(12)$ si trova all'intersezione della prima riga e della seconda colonna, quindi $a_(12)=-2$. L'elemento $a_(33)$ si trova all'intersezione della terza riga e della terza colonna, quindi $a_(33)=23$. L'elemento $a_(43)$ si trova all'intersezione della quarta riga e della terza colonna, quindi $a_(43)=-5$.
Risposta: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Tipi di matrici a seconda della loro dimensione. Diagonali principali e laterali. Traccia matrice.
Sia data una certa matrice $A_(m\times n)$. Se $m=1$ (la matrice è composta da una riga), viene chiamata la matrice data matrice-riga. Se $n=1$ (la matrice è composta da una colonna), viene chiamata tale matrice matrice di colonne. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ è una matrice riga, e $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matrice di colonne.
Se la condizione $m\neq n$ è vera per la matrice $A_(m\times n)$ (ovvero, il numero di righe non è uguale al numero di colonne), allora si dice spesso che $A$ è una matrice rettangolare. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ha dimensione $2\times 4 $, quelli. contiene 2 righe e 4 colonne. Poiché il numero di righe non è uguale al numero di colonne, questa matrice è rettangolare.
Se la condizione $m=n$ è vera per la matrice $A_(m\per n)$ (cioè il numero di righe è uguale al numero di colonne), allora $A$ si dice matrice quadrata di ordine $n$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata di secondo ordine; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata del 3° ordine. IN vista generale la matrice quadrata $A_(n\times n)$ può essere scritta come segue:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
Gli elementi $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ si dicono attivi diagonale principale matrici $A_(n\volte n)$. Questi elementi sono chiamati principali elementi diagonali(o solo elementi diagonali). Gli elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sono attivi diagonale laterale (secondaria).; sono chiamati elementi diagonali secondari. Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \destra)$ abbiamo:
Gli elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sono gli elementi diagonali principali; gli elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sono elementi diagonali secondari.
Viene chiamata la somma dei principali elementi diagonali seguito da una matrice e indicato con $\Tr A$ (o $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ abbiamo:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Il concetto di elementi diagonali viene utilizzato anche per le matrici non quadrate. Ad esempio, per la matrice $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ gli elementi della diagonale principale saranno $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Tipi di matrici a seconda dei valori dei loro elementi.
Se tutti gli elementi della matrice $A_(m\times n)$ sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice nullo ed è solitamente indicato dalla lettera $O$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sono matrici zero.
Considera una riga diversa da zero della matrice $A$, ad es. una stringa che contiene almeno un elemento diverso da zero. elemento di punta di una stringa diversa da zero, chiamiamolo il primo (contando da sinistra a destra) elemento diverso da zero. Si consideri ad esempio la seguente matrice:
$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $
Nella seconda riga, il quarto elemento sarà in testa, ad es. $w_(24)=12$, e nella terza riga l'elemento iniziale sarà il secondo elemento, cioè $w_(32)=-9$.
Viene chiamata la matrice $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ calpestato se soddisfa due condizioni:
- Le righe nulle, se presenti, si trovano sotto tutte le righe non nulle.
- I numeri di elementi iniziali di stringhe diverse da zero formano una sequenza strettamente crescente, ad es. se $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ sono elementi iniziali di righe diverse da zero della matrice $A$, allora $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt(k_r)$.
Esempi di matrici a gradini:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$
Per confronto: matrice $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ non è una matrice a gradini, poiché la seconda condizione nella definizione di una matrice a gradini viene violata. Gli elementi iniziali nella seconda e terza riga $q_(24)=7$ e $q_(32)=10$ sono numerati $k_2=4$ e $k_3=2$. Per una matrice a gradini deve essere soddisfatta la condizione $k_2\lt(k_3)$, che in questo caso viene violata. Noto che se scambiamo la seconda e la terza riga, otteniamo una matrice a gradini: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.
Viene chiamata la matrice del passo trapezoidale O trapezoidale, se gli elementi iniziali $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ soddisfano le condizioni $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, cioè gli elementi diagonali stanno conducendo. In generale, una matrice trapezoidale può essere scritta come segue:
$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$
Esempi di matrici trapezoidali:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$
Diamo altre definizioni per le matrici quadrate. Se tutti gli elementi di una matrice quadrata situata sotto la diagonale principale sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice matrice triangolare superiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matrice triangolare superiore. Si noti che la definizione della matrice triangolare superiore non dice nulla sui valori degli elementi situati sopra la diagonale principale o sulla diagonale principale. Possono o non possono essere zero, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ è anche una matrice triangolare superiore.
Se tutti gli elementi di una matrice quadrata situata sopra la diagonale principale sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice matrice triangolare inferiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triangolare inferiore. Si noti che la definizione di una matrice triangolare inferiore non dice nulla sui valori degli elementi sottostanti o sulla diagonale principale. Possono o non possono essere nulli, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ e $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sono anche matrici triangolari inferiori.
La matrice quadrata è chiamata diagonale se tutti gli elementi di questa matrice che non sono sulla diagonale principale sono uguali a zero. Esempio: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\destra)$. Gli elementi sulla diagonale principale possono essere qualsiasi cosa (uguale a zero o meno) - questo non è essenziale.
Viene chiamata la matrice diagonale separare se tutti gli elementi di questa matrice situati sulla diagonale principale sono uguali a 1. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice identità di 4° ordine; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ è la matrice identità di secondo ordine.
Si noti che gli elementi della matrice possono essere non solo numeri. Immagina di descrivere i libri che sono nella tua libreria. Lascia che il tuo scaffale sia in ordine e tutti i libri si trovino in luoghi rigorosamente definiti. La tabella che conterrà la descrizione della tua libreria (secondo gli scaffali e la sequenza dei libri sullo scaffale) sarà anche una matrice. Ma una tale matrice non sarà numerica. Un altro esempio. Al posto dei numeri ci sono funzioni diverse, unite tra loro da qualche dipendenza. La tabella risultante sarà anche chiamata matrice. In altre parole, Matrix è un qualsiasi tavolo rettangolare composto da omogeneo elementi. Qui e sotto parleremo di matrici composte da numeri.
Invece delle parentesi, le matrici vengono scritte utilizzando parentesi quadre o doppie linee verticali diritte.
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(2.1*) |
Definizione 2. Se nell'espressione(1) m = n , poi ne parlano matrice quadrata, e se , qualcosa a proposito di rettangolare.
A seconda dei valori di m e n, esistono alcuni tipi speciali di matrici:
La caratteristica più importante piazza la matrice è sua determinante O determinante, che è composto da elementi di matrice ed è denotato
Ovviamente, D E =1 ; .
Definizione 3. Se , poi la matrice UN chiamato non degenerato O Non è speciale.
Definizione 4. Se detA = 0 , poi la matrice UN chiamato degenerare O speciale.
Definizione 5. Due matrici UN E B chiamato pari e scrivi A=B se hanno le stesse dimensioni e i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè.
Ad esempio, le matrici e sono uguali, perché hanno dimensioni uguali e ogni elemento di una matrice è uguale al corrispondente elemento dell'altra matrice. Ma le matrici non possono essere chiamate uguali, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le dimensioni delle matrici siano le stesse, ma non tutti gli elementi negli stessi posti sono uguali. Le matrici sono diverse perché hanno dimensioni diverse. La prima matrice è 2x3 e la seconda 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi sono gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, ma si trovano in posizioni diverse in ciascuna matrice. Ma le matrici e sono uguali, secondo la Definizione 5.
Definizione 6. Se fissiamo un certo numero di colonne della matrice UN e lo stesso numero delle sue righe, allora gli elementi all'intersezione delle colonne e delle righe specificate formano una matrice quadrata N- esimo ordine, il cui determinante chiamato minore K- matrice dell'esimo ordine UN.
Esempio. Scrivi tre minori del secondo ordine della matrice
Biglietto 17:
Domanda 1: Definizione di parabola. Derivazione dell'equazione:
Definizione. Una parabola è un insieme di punti nel piano, ciascuno dei quali si trova alla stessa distanza da un dato punto, detto fuoco, e da una data retta, detta direttrice e non passante per il fuoco.
Poniamo l'origine delle coordinate nel mezzo tra il fuoco e la direttrice.
Il valore p (la distanza dal fuoco alla direttrice) è chiamato parametro della parabola. Deriviamo l'equazione canonica della parabola.
Dalle relazioni geometriche: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 + xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
Equazione direttrice: x = -p/2.
Domanda 2: Teorema di Cauchy:
Teorema: Lascia che le funzioni e siano differenziabili sull'intervallo e continue per e , inoltre, per tutti . Allora c'è un punto nell'intervallo tale che
senso geometrico : Questi teoremi consistono nel fatto che al suo interno esiste un punto t 0 , le cui pendenze sono calcolate per uguaglianza:
Prova.
Dimostriamolo prima 
, cioè che la frazione a sinistra della formula ha senso. Infatti, per questa differenza, possiamo scrivere la formula per incrementi finiti:
a un certo . Ma sul lato destro di questa formula, entrambi i fattori sono diversi da zero.
Per dimostrare il teorema, introduciamo una funzione ausiliaria
La funzione è ovviamente differenziabile per tutti e continua nei punti e , poiché le funzioni e hanno queste proprietà. Inoltre, è ovvio che per , otteniamo . Mostriamolo e:
Quindi, la funzione soddisfa le condizioni del teorema di Rolle sull'intervallo. Pertanto, c'è un punto tale che .
Calcoliamo ora la derivata della funzione:
Lo capiamo
da cui si ricava l'affermazione del teorema:
Commento: Possiamo considerare le funzioni e le coordinate di un punto che si muove su un piano, che descrive una linea che collega il punto iniziale con il punto finale (quindi le equazioni e impostano parametricamente una dipendenza, il cui grafico è la linea).
Fig. 5.6 La corda è parallela ad una certa tangente alla curva
Il rapporto, come è facile vedere dal disegno, stabilisce poi la pendenza della corda che unisce i punti e . Allo stesso tempo, secondo la formula per la derivata di una funzione data parametricamente, abbiamo: 
. Quindi la frazione è la pendenza della tangente alla retta in un punto 
. Pertanto, l'affermazione del teorema significa, da un punto di vista geometrico, che esiste un punto sulla retta tale che la tangente tracciata in questo punto è parallela alla corda che collega i punti estremi della retta. Ma questa è la stessa affermazione che costituiva il significato geometrico del teorema di Lagrange. Solo nel teorema di Lagrange la retta era data da una dipendenza esplicita, e nel teorema di Cauchy da una dipendenza data in forma parametrica.
Biglietto 18:
Domanda 1: Il concetto di matrice. Classificazione della matrice:
Definizione.
Una matrice di dimensione mn, dove m è il numero di righe, n è il numero di colonne, è una tabella di numeri disposti in un certo ordine. Questi numeri sono chiamati elementi di matrice. La posizione di ciascun elemento è determinata in modo univoco dal numero della riga e della colonna all'intersezione di cui si trova. Gli elementi della matrice sono indicati con aij, dove i è il numero di riga e j è il numero di colonna. UN = 
Classificazione della matrice:.
Una matrice può avere una riga o una colonna. In generale, una matrice può anche consistere di un elemento.
Definizione . Se il numero di colonne della matrice è uguale al numero di righe (m=n), viene chiamata la matrice piazza.
Definizione
. Visualizza matrice: 
= E è detta matrice identità.
Definizione. Se amn = anm , allora la matrice è chiamata simmetrica. Esempio. - matrice simmetrica
Definizione
. Matrice vista quadrata 
chiamato matrice diagonale
.
Domanda 2: Teorema di Lagrange:
Teorema:
Sia la funzione differenziabile sull'intervallo e continua nei punti e . Poi c'è un punto tale che 
Senso geometrico:
Diamo prima un'illustrazione geometrica del teorema. Collega i punti finali del grafico sul segmento con una corda. Incrementi finiti e 
sono le lunghezze dei cateti del triangolo, la cui ipotenusa è la corda tracciata.
Fig. 5.5 La tangente in un certo punto è parallela alla corda
Il rapporto tra gli incrementi finali ed è la tangente della pendenza della corda. Il teorema afferma che a un certo punto si può tracciare una tangente al grafico di una funzione differenziabile, che sarà parallela alla corda, cioè la pendenza della tangente () sarà uguale all'angolo pendenza della corda (). Ma la presenza di tale tangente è geometricamente evidente.
Si noti che la corda disegnata che collega i punti e è il grafico di una funzione lineare. Poiché la pendenza di questa funzione lineare è ovviamente uguale a 
, Quello 
Dimostrazione del teorema di Lagrange. Riduciamo la dimostrazione all'applicazione del teorema di Rolle. Per fare ciò, introduciamo una funzione ausiliaria, cioè
notare che 
e (costruendo la funzione ). Poiché una funzione lineare è differenziabile per tutti , la funzione soddisfa quindi tutte le proprietà elencate nella condizione del teorema di Rolle. Pertanto, c'è un tale punto che Cheat Sheet Di Filosofia: risposte ai biglietti d'esame Cheat sheet >> Filosofia
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Una matrice è un oggetto speciale in matematica. È raffigurato sotto forma di un tavolo rettangolare o quadrato, composto da un certo numero di righe e colonne. In matematica esiste un'ampia varietà di tipi di matrici, che differiscono per dimensioni o contenuto. I numeri delle sue righe e colonne sono chiamati ordini. Questi oggetti sono usati in matematica per organizzare la scrittura dei sistemi equazioni lineari e facile ricerca dei loro risultati. Le equazioni che utilizzano una matrice vengono risolte utilizzando il metodo di Carl Gauss, Gabriel Cramer, minori e addizioni algebriche e molti altri modi. L'abilità di base quando si lavora con le matrici è ridurre a Tuttavia, prima, scopriamo quali tipi di matrici si distinguono per i matematici.
Tipo Zero
Tutti i componenti di questo tipo di matrice sono zeri. Nel frattempo, il numero delle sue righe e colonne è assolutamente diverso.
tipo quadrato
Il numero di colonne e righe di questo tipo di matrice è lo stesso. In altre parole, è un tavolo dalla forma "quadrata". Il numero delle sue colonne (o righe) è chiamato ordine. Casi particolari sono l'esistenza di una matrice di secondo ordine (matrice 2x2), quarto ordine (4x4), decima (10x10), diciassettesima (17x17) e così via.
Vettore di colonna
Questo è uno dei tipi più semplici di matrici, contenente solo una colonna, che include tre valori numerici. Rappresenta un numero di termini liberi (numeri indipendenti dalle variabili) in sistemi di equazioni lineari.
Vista simile alla precedente. Costituito da tre elementi numerici, a loro volta organizzati in una riga.
Tipo diagonale
I valori numerici nella forma diagonale della matrice prendono solo i componenti della diagonale principale (evidenziata in verde). La diagonale principale parte dall'elemento situato nell'angolo in alto a sinistra e termina rispettivamente con l'elemento in basso a destra. Il resto dei componenti è zero. Il tipo diagonale è solo una matrice quadrata di un certo ordine. Tra le matrici della forma diagonale se ne può individuare una scalare. Tutti i suoi componenti assumono gli stessi valori.
Una sottospecie della matrice diagonale. Tutti i suoi valori numerici sono unità. Utilizzando un unico tipo di tabelle di matrici, vengono eseguite le sue trasformazioni di base o viene trovata una matrice inversa a quella originale.
Tipo canonico
La forma canonica della matrice è considerata una delle principali; il casting su di esso è spesso necessario per funzionare. Il numero di righe e colonne nella matrice canonica è diverso, non appartiene necessariamente al tipo quadrato. È in qualche modo simile alla matrice identità, tuttavia, nel suo caso, non tutti i componenti della diagonale principale assumono un valore uguale a uno. Possono esserci due o quattro unità diagonali principali (tutto dipende dalla lunghezza e dalla larghezza della matrice). Oppure potrebbero non esserci unità (quindi è considerato zero). I restanti componenti del tipo canonico, così come gli elementi dei tipi diagonale e unità, sono uguali a zero.
tipo triangolare
Uno dei tipi più importanti di matrice utilizzato durante la ricerca del suo determinante e durante l'esecuzione di semplici operazioni. Il tipo triangolare deriva dal tipo diagonale, quindi anche la matrice è quadrata. La vista triangolare della matrice è divisa in triangolare superiore e triangolare inferiore.
Nella matrice triangolare superiore (Fig. 1), solo gli elementi che si trovano al di sopra della diagonale principale assumono valore pari a zero. Le componenti della diagonale stessa e la parte della matrice sottostante contengono valori numerici.
Nella matrice triangolare inferiore (Fig. 2), invece, gli elementi posti nella parte inferiore della matrice sono uguali a zero.
La forma è necessaria per trovare il rango di una matrice, nonché per operazioni elementari su di esse (insieme al tipo triangolare). La matrice a gradini è così chiamata perché contiene caratteristici "passi" di zeri (come mostrato in figura). Nel tipo a gradini si forma una diagonale di zeri (non necessariamente quella principale) e anche tutti gli elementi sotto questa diagonale hanno valori pari a zero. Un prerequisito è il seguente: se nella matrice a gradini è presente una riga zero, anche le righe rimanenti al di sotto di essa non contengono valori numerici.
Pertanto, abbiamo considerato i tipi più importanti di matrici necessarie per lavorare con esse. Ora affrontiamo il compito di convertire una matrice nella forma richiesta.
Riduzione a forma triangolare
Come portare la matrice a una forma triangolare? Molto spesso, negli incarichi, è necessario convertire una matrice in una forma triangolare per trovare il suo determinante, altrimenti chiamato determinante. Quando si esegue questa procedura, è estremamente importante "preservare" la diagonale principale della matrice, poiché il determinante di una matrice triangolare è esattamente il prodotto dei componenti della sua diagonale principale. Permettetemi anche di ricordarvi metodi alternativi per trovare il determinante. Il determinante di tipo quadrato viene trovato utilizzando formule speciali. Ad esempio, puoi utilizzare il metodo del triangolo. Per altre matrici viene utilizzato il metodo di decomposizione per riga, colonna o relativi elementi. Puoi anche applicare il metodo dei minori e dei complementi algebrici della matrice.
Analizziamo in dettaglio il processo di portare una matrice a una forma triangolare usando esempi di alcuni compiti.
Esercizio 1
È necessario trovare il determinante della matrice presentata, utilizzando il metodo per portarlo in una forma triangolare.
La matrice che ci viene data è una matrice quadrata del terzo ordine. Pertanto, per trasformarlo in una forma triangolare, dobbiamo far svanire due componenti della prima colonna e un componente della seconda.
Per portarlo a una forma triangolare, iniziamo la trasformazione dall'angolo in basso a sinistra della matrice - dal numero 6. Per portarlo a zero, moltiplichiamo la prima riga per tre e la sottraiamo dall'ultima riga.
Importante! La riga superiore non cambia, ma rimane la stessa della matrice originale. Non è necessario scrivere una stringa quattro volte quella originale. Ma i valori delle righe i cui componenti devono essere azzerati cambiano continuamente.
Rimane solo l'ultimo valore: l'elemento della terza riga della seconda colonna. Questo è il numero (-1). Per portarlo a zero, sottrai il secondo dalla prima riga.
Controlliamo:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Da qui la risposta al compito: -22.
Compito 2
È necessario trovare il determinante della matrice portandolo a una forma triangolare.
La matrice presentata appartiene al tipo quadrato ed è una matrice del quarto ordine. Ciò significa che è necessario far sparire tre componenti della prima colonna, due componenti della seconda colonna e un componente della terza.
Iniziamo a lanciarlo dall'elemento situato nell'angolo in basso a sinistra - dal numero 4. Dobbiamo portare questo numero a zero. Il modo più semplice per farlo è moltiplicare la riga superiore per quattro e quindi sottrarla dalla quarta riga. Scriviamo il risultato della prima fase della trasformazione.
Quindi, il componente della quarta riga è impostato su zero. Passiamo al primo elemento della terza riga, al numero 3. Eseguiamo un'operazione simile. Moltiplica per tre la prima riga, sottraila dalla terza riga e scrivi il risultato.
Siamo riusciti ad azzerare tutti i componenti della prima colonna di questa matrice quadrata, ad eccezione del numero 1, elemento della diagonale principale che non necessita di trasformazione. Ora è importante mantenere gli zeri risultanti, quindi eseguiremo trasformazioni con righe, non colonne. Passiamo alla seconda colonna della matrice presentata.
Ricominciamo dal basso, dall'elemento della seconda colonna dell'ultima riga. Questo è il numero (-7). Tuttavia, in questo caso è più conveniente iniziare con il numero (-1) - l'elemento della seconda colonna della terza riga. Per portarlo a zero, sottrai la seconda riga dalla terza riga. Quindi moltiplichiamo la seconda riga per sette e la sottraiamo dalla quarta. Abbiamo ottenuto zero invece dell'elemento situato nella quarta riga della seconda colonna. Ora passiamo alla terza colonna.
In questa colonna, dobbiamo azzerare solo un numero - 4. Questo non è difficile da fare: basta aggiungere la terza all'ultima riga e vedere lo zero di cui abbiamo bisogno.
Dopo tutte le trasformazioni, abbiamo portato la matrice proposta ad una forma triangolare. Ora, per trovare il suo determinante, devi solo moltiplicare gli elementi risultanti della diagonale principale. Noi abbiamo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Pertanto, la soluzione è il numero 160.
Quindi, ora la questione di portare la matrice a una forma triangolare non ti renderà difficile.
Riduzione a forma a gradini
Per operazioni elementari su matrici, la forma a gradini è meno "richiesta" di quella triangolare. È più comunemente usato per trovare il rango di una matrice (cioè il numero delle sue righe diverse da zero) o per determinare righe linearmente dipendenti e indipendenti. Tuttavia, la vista a gradini della matrice è più versatile, in quanto adatta non solo al tipo quadrato, ma a tutti gli altri.
Per ridurre una matrice a una forma a gradini, devi prima trovare il suo determinante. Per questo, i metodi di cui sopra sono adatti. Lo scopo di trovare il determinante è scoprire se può essere convertito in una matrice a gradini. Se il determinante è maggiore o minore di zero, puoi tranquillamente procedere all'attività. Se è uguale a zero, non funzionerà per ridurre la matrice a una forma a gradini. In questo caso è necessario verificare se ci sono errori nel record o nelle trasformazioni matriciali. Se non ci sono tali imprecisioni, l'attività non può essere risolta.
Consideriamo come portare la matrice a una forma a gradini utilizzando esempi di diverse attività.
Esercizio 1. Trova il rango della tabella di matrici data.
Davanti a noi c'è una matrice quadrata del terzo ordine (3x3). Sappiamo che per trovare il rango è necessario ridurlo a una forma a gradini. Pertanto, dobbiamo prima trovare il determinante della matrice. Usiamo il metodo del triangolo: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Determinante = 12. È maggiore di zero, il che significa che la matrice può essere ridotta a una forma a gradini. Iniziamo a trasformarlo.
Cominciamo con l'elemento della colonna di sinistra della terza riga: il numero 2. Moltiplichiamo la riga superiore per due e la sottraiamo dalla terza. Grazie a questa operazione sia l'elemento di cui abbiamo bisogno sia il numero 4 - l'elemento della seconda colonna della terza riga - si sono trasformati in zero.
Vediamo che come risultato della riduzione si è formata una matrice triangolare. Nel nostro caso, la trasformazione non può essere continuata, poiché i componenti rimanenti non possono essere azzerati.
Quindi, concludiamo che il numero di righe contenenti valori numerici in questa matrice (o il suo rango) è 3. Risposta all'attività: 3.
Compito 2. Determinare il numero di righe linearmente indipendenti della matrice data.
Dobbiamo trovare tali stringhe che non possono essere convertite a zero da alcuna trasformazione. Occorre infatti trovare il numero di righe diverse da zero, ovvero il rango della matrice rappresentata. Per fare questo, semplifichiamolo.
Vediamo una matrice che non appartiene al tipo quadrato. Ha dimensioni 3x4. Iniziamo il cast anche dall'elemento dell'angolo in basso a sinistra - il numero (-1).
Non sono possibili ulteriori trasformazioni. Quindi, concludiamo che il numero di linee linearmente indipendenti in esso e la risposta all'attività è 3.
Ora portare la matrice a una forma a gradini non è un compito impossibile per te.
Sugli esempi di questi compiti, abbiamo analizzato la riduzione di una matrice a una forma triangolare ea una forma a gradini. Per annullare i valori desiderati delle tabelle di matrici, in alcuni casi è necessario mostrare immaginazione e trasformare correttamente le loro colonne o righe. Buona fortuna in matematica e nel lavoro con le matrici!
Sebbene i ricercatori di solito facciano riferimento alla classificazione come mezzo per prevedere la classe di oggetti "sconosciuti", possiamo usarla anche per testare l'accuratezza delle procedure di classificazione. Per fare ciò, prendiamo gli oggetti "conosciuti" (che abbiamo usato nella derivazione delle funzioni di classificazione) e applichiamo loro le regole di classificazione. La proporzione di oggetti classificati correttamente indica l'accuratezza della procedura e conferma indirettamente il grado di separazione delle classi. È possibile redigere una tabella, o "matrice di classificazione", che descriva i risultati. Questo ci aiuterà a vedere quali errori vengono commessi più spesso.
Tabella 12. Matrice di classificazione
La tabella 12 è una matrice di classificazione per i dati di voto del Senato. Le sei variabili di Bardes predicono correttamente la distribuzione di fazione di tutti i senatori (eccetto Capehart) la cui affiliazione di fazione è "nota". L'accuratezza della previsione in questo caso è del 94,7% (la somma delle previsioni corrette è 18 divisa per il numero totale di oggetti "conosciuti"). Vediamo anche che gli errori in questo esempio sono dovuti alla scarsa separazione dei gruppi 1 e 4. Nella riga inferiore della tabella. 12 mostra la distribuzione per gruppi di oggetti "sconosciuti". Questi sono i senatori la cui fazione Bardes non è stata in grado di determinare dai dati in suo possesso. Il suo obiettivo principale era utilizzare l'analisi discriminante per classificare le posizioni di questi senatori in base ai loro voti, dopodiché ha continuato a esplorare l'atteggiamento del Senato nei confronti di varie opzioni per gli aiuti esteri.
La percentuale di oggetti "conosciuti" che sono stati classificati correttamente è un'ulteriore misura delle differenze tra i gruppi. Lo useremo, insieme alle correlazioni L-statistiche e canoniche generali di Wilks, per indicare la quantità di informazione discriminante contenuta nelle variabili. Come misura diretta dell'accuratezza della previsione, questa percentuale è la misura più appropriata delle informazioni discriminanti. Tuttavia, il valore della percentuale può essere giudicato solo dalla percentuale prevista di classificazioni corrette quando la distribuzione per classi è stata effettuata in modo casuale. Se sono presenti due classi, con la classificazione casuale ci si può aspettare il 50% di previsioni corrette. Per quattro classi, l'accuratezza prevista è solo del 25%. Se per due classi la procedura di classificazione fornisce il 60% di previsioni corrette, allora la sua efficienza è piuttosto bassa, ma per quattro classi lo stesso risultato indica un'efficienza significativa, perché una classificazione casuale darebbe solo il 25% di previsioni corrette. Questo ci porta alla statistica -error, che sarà una misura standardizzata delle prestazioni per qualsiasi numero di classi:
dove è il numero di oggetti correttamente classificati, ed è la probabilità a priori di appartenere alla classe.
L'espressione rappresenta il numero di oggetti che saranno previsti correttamente classificandoli casualmente in classi in proporzione alle probabilità a priori. Se tutte le classi sono considerate uguali, si presume che le probabilità a priori siano uguali a una divisa per il numero di classi. Il valore massimo della -statistica è 1 e viene raggiunto nel caso di previsione senza errori. Un valore zero indica l'inefficienza della procedura, - le statistiche possono anche assumere valori negativi, che indicano scarsa discriminazione o un caso degenerato. Poiché deve essere un numero intero, il numeratore può diventare negativo per puro caso, quando non ci sono differenze tra le classi.
