- (takrif) badan geometri yang dibatasi pada semua sisi oleh poligon rata - tepi.
Contoh polyhedra:
Sisi muka dipanggil tepi, dan hujung tepi dipanggil bucu. Berdasarkan bilangan muka, 4-sided, 5-sided, dsb. dibezakan. Polihedron dipanggil cembung, jika semuanya terletak pada satu sisi satah setiap mukanya. Polihedron dipanggil betul, jika mukanya ialah poligon sekata (iaitu yang mempunyai semua sisi dan sudut sama) dan semua sudut polihedral pada bucu adalah sama. Terdapat lima jenis polyhedra biasa: tetrahedron, kubus, octahedron, dodecahedron, icosahedron.
Polyhedron dalam ruang tiga dimensi (konsep polihedron) - himpunan bilangan poligon rata yang terhingga supaya
1) setiap sisi satu secara serentak adalah sisi yang lain (tetapi hanya satu), dipanggil bersebelahan dengan yang pertama (di sebelah ini);
2) daripada mana-mana poligon yang membentuk polihedron, anda boleh mencapai mana-mana daripadanya dengan pergi ke yang bersebelahan dengannya, dan dari ini, seterusnya, ke yang bersebelahan dengannya, dsb.
Poligon ini dipanggil tepi, pihak mereka tulang rusuk, dan bucunya ialah puncak polihedron.
Bucu polihedron
Tepi polyhedron
Muka polihedron
Polihedron dipanggil cembung jika ia terletak pada satu sisi satah mana-mana mukanya.
Daripada takrifan ini, semua muka polihedron cembung adalah poligon cembung rata. Permukaan polihedron cembung terdiri daripada muka yang terletak pada satah yang berbeza. Dalam kes ini, tepi polihedron ialah sisi poligon, bucu polihedron ialah bucu muka, dan sudut rata polihedron ialah sudut poligon - muka.
Polihedron cembung yang kesemua bucunya terletak pada dua satah selari dipanggil prismatoid. Prisma, piramid dan piramid terpotong adalah kes khas prismatoid. Semua muka sisi prismatoid ialah segi tiga atau segi empat, dan muka segiempat ialah trapezoid atau segiempat selari.
Seseorang menunjukkan minat terhadap polyhedra sepanjang keseluruhan aktiviti sedarnya - daripada kanak-kanak berusia dua tahun bermain bongkah kayu kepada ahli matematik yang matang. Minat khusus dalam poligon biasa dan polyhedra biasa dikaitkan dengan keindahan dan kesempurnaan bentuk. Mereka agak biasa dalam alam semula jadi. Memadai untuk mengingat kembali bentuk kepingan salji, muka kristal dan sel dalam sarang lebah. Poligon biasa boleh digunakan untuk membentuk bukan sahaja angka rata, tetapi juga spatial.
Orang Yunani purba juga mengkaji banyak sifat geometri pepejal Platonik; (hasil penyelidikan mereka boleh didapati dalam buku ke-13 Bermula Euclid ((lihat juga GEOMETRI)). Kajian pepejal Platonik dan angka yang berkaitan masih diteruskan hingga ke hari ini. Dan walaupun motif utama penyelidikan moden kecantikan dan simetri berfungsi, mereka juga mempunyai beberapa kepentingan saintifik, terutamanya dalam kristalografi. Hablur garam meja, natrium tioantimonida dan tawas kromium berlaku dalam alam semula jadi dalam bentuk kubus, tetrahedron dan oktahedron, masing-masing. Icosahedron dan dodecahedron tidak ditemui di kalangan bentuk kristal, tetapi ia boleh diperhatikan di antara bentuk organisma laut mikroskopik yang dikenali sebagai radiolarians.
Polihedron bintang ialah polihedron tak cembung biasa. Polyhedra, kerana sifat simetrinya yang luar biasa, telah dikaji sejak zaman purba. Juga, bentuk polihedral digunakan secara meluas dalam seni hiasan.
Polyhedra berbentuk bintang sangat hiasan, yang membolehkan mereka digunakan secara meluas dalam industri perhiasan dalam pembuatan semua jenis barang kemas. Mereka juga digunakan dalam seni bina. Banyak bentuk polyhedra stellate dicadangkan oleh alam semula jadi itu sendiri. Kepingan salji ialah polyhedra berbentuk bintang. Sejak zaman purba, orang telah cuba menerangkan semua jenis kepingan salji yang mungkin dan menyusun atlas khas. Beberapa ribu kini diketahui pelbagai jenis kepingan salji. Terdapat banyak jenis stellate polyhedra.
Tetrahedron
(daripada bahasa Yunani tetra - empat dan hedra - tepi)
Polihedron yang paling ringkas ialah Tetrahedron. Di sini kita perlu meneruskan bukan tepi, tetapi muka polihedron. Walau bagaimanapun, empat satah - kesinambungan muka tetrahedron - hanya menghadkan bahagian ruang tiga dimensi yang bertepatan dengan badan asal. Enam satah kubus adalah selari berpasangan dan saling berserenjang, seperti sisi analog dua dimensi kubus - segi empat sama. Oleh itu, dalam kes tiga dimensi, tiada bahagian baru ditambahkan pada kubus. Tetapi sudah kes octahedron memberikan hasil yang menarik. Lapan satah - kesinambungan muka oktahedron - memisahkan bahagian baru dari angkasa, boleh dikatakan, "kompartemen", di luar oktahedron. Anda akan mendapati bahawa bahagian-bahagian ini tidak lebih daripada tetrahedron kecil, asasnya bertepatan dengan muka oktahedron. Jika anda kini secara mental melampirkan bahagian-bahagian ini pada oktahedron sedemikian rupa sehingga muka biasa mereka dengan oktahedron hilang, meninggalkan bahagian dalam badan baru berongga, polihedron tidak cembung akan muncul di hadapan mata anda.
oktahedron berbintang
(daripada okto Yunani - lapan dan hedra - tepi)
Ia ditemui oleh Leonardo Da Vinci, kemudian ditemui semula hampir 100 tahun kemudian oleh I. Kepler, dan dia menamakannya "Stella octangula" - bintang oktagon. Oleh itu octahedron mempunyai nama kedua "Kepler's stella octangula".
Sebuah oktahedron mempunyai 6 bucu dan 12 tepi. Menggunakan contoh oktahedron, anda boleh menyemak formula Euler 6в+8г-12р=2. Pada setiap bucu mereka bertumpu 4 segi tiga, oleh itu jumlah sudut satah pada satu bucu oktahedron ialah 240 °.Daripada takrifan polihedron sekata ia mengikuti bahawa semua tepi oktahedron mempunyai panjang yang sama, dan muka mempunyai luas yang sama.
Kristal berlian ialah molekul polimer gergasi dan biasanya berbentuk seperti oktahedra
Dodecahedron stellated yang hebat
Dodecahedron stellated yang hebat tergolong dalam keluarga pepejal Kepler-Poinsot, iaitu polyhedra bukan cembung biasa. Muka dodecahedron berbintang besar ialah pentagram, seperti muka dodekahedron berbintang kecil. Setiap bucu mempunyai tiga muka yang disambungkan. Bucu dodekahedron berbintang besar bertepatan dengan bucu dodekahedron yang diterangkan.
Polihedron biasa terdiri daripada 12 pentagon sama sisi. Dodecahedron mempunyai 20 puncak Dan 30 rusuk. Puncak dodekahedron ialah puncak tiga pentagon, oleh itu jumlah sudut satah pada setiap bucu ialah 324°.
DALAM alkimia Biasanya hanya unsur-unsur ini diperkatakan: api, tanah, udara dan air; Jarang disebut eter kerana ia sangat suci. Di sekolah Pythagoras, jika anda hanya menyebut perkataan "dodecahedron" di luar dinding sekolah, anda akan dibunuh di tempat kejadian. Angka ini dianggap begitu suci. Mereka tidak bercakap tentang dia. Dua ratus tahun kemudian, semasa hidup Plato, mereka bercakap mengenainya, tetapi hanya dengan berhati-hati. kenapa? Kerana dodecahedron terletak di pinggir luar medan tenaga anda dan merupakan bentuk kesedaran tertinggi. Apabila anda mencapai had 55 kaki medan tenaga anda, ia akan berbentuk seperti sfera. Tetapi angka dalaman yang paling hampir dengan sfera ialah dodecahedron (sebenarnya, hubungan dodecahedral-icosahedral). Di samping itu, kita tinggal di dalam dodecahedron besar yang mengandungi alam semesta. Apabila fikiran anda mencapai had ruang angkasa - dan terdapat had di sini - maka ia tersandung pada dodekahedron yang tertutup dalam sfera. Dodecahedron ialah angka akhir geometri dan ia sangat penting
Pada intinya struktur DNA terletak geometri suci, walaupun hubungan tersembunyi lain mungkin juga didedahkan. Buku Heartmath karya Dan Winter menunjukkan bahawa molekul DNA terdiri daripada dua hubungan dodekahedron dan ikosahedron.
Ikosahedron berbintang
Icosahedron mempunyai dua puluh muka. Jika setiap daripada mereka diteruskan selama-lamanya, maka badan akan dikelilingi oleh pelbagai jenis petak - bahagian ruang yang dihadkan oleh satah muka. Semua bentuk bintang ikosahedron boleh diperolehi dengan menambahkan petak tersebut pada badan asal. Tidak mengira icosahedron itu sendiri, sambungan mukanya dipisahkan dari angkasa dengan 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 petak sepuluh bentuk dan saiz yang berbeza. Icosahedron yang hebat (lihat rajah) terdiri daripada semua kepingan ini, kecuali enam puluh yang terakhir.
Polihedron cembung biasa terdiri daripada 20 segi tiga sekata. Setiap 12 puncak ikosahedron ialah puncak 5 segi tiga sama sisi, jadi jumlah sudut di bahagian atas adalah sama 300° .
Di alam semula jadi terdapat objek dengan simetri tertib ke-5. Sebagai contoh, virus diketahui yang mengandungi kelompok dalam bentuk ikosahedral. Penemuan fullerene, yang molekulnya C60 juga mempunyai jenis simetri ini, merangsang minat terhadap objek tersebut. G. Hubert dan rakan sekerja (H. Hubert; University of Arizona, Amerika Syarikat) mensintesis kristal B6 O daripada campuran B dan B2 O3, yang disimpan pada suhu 1700o C dan tekanan 4 hingga 5.5 GPa selama 30 minit. Boron suboksida yang terhasil mempunyai kekisi kristal rombohedral dengan salah satu sudut bucu rata bersamaan dengan 63.1o. Nilai ini sangat hampir dengan sudut 63.4o yang diperlukan untuk membuat 20 tetrahedra ikosahedron biasa. Ikosahedron utama mampu berkumpul menjadi gugusan yang lebih besar: ikosahedron pusat dikelilingi oleh 12 zarah yang serupa, yang pusatnya terletak pada bucu ikosahedron tertib kedua yang lebih besar. Bilangan atom dalam supercluster tersebut boleh mencapai 1014. Kelompok ikosahedral mempunyai saiz kira-kira 15 mikron. Produk sintesis ini tidak boleh dianggap sebagai kristal tunggal, kerana ia tidak mempunyai kekisi kristal berkala. Ketumpatan rendah zarah sedemikian dengan kekerasan yang hampir dengan berlian, dan rintangan kimia yang tinggi menjadikannya menjanjikan dalam penciptaan bahan baharu untuk teknologi.
Badan Kepler–Poinsot
Dua tetrahedron yang melalui satu sama lain membentuk oktahedron. Johannes Kepler memberikan angka ini nama "stella octangula" - "bintang oktagon".
Ia juga terdapat dalam alam semula jadi: ini adalah yang dipanggil kristal berganda. Kami terpaksa mengiktiraf "stella octangula" sebagai polyhedron biasa: selepas semua, semua mukanya adalah segi tiga biasa dengan saiz yang sama dan semua sudut di antara mereka adalah sama! Apakah ini - pepejal Platonik keenam?! Tidak, hanya provokasi yang berjaya.
Dalam takrif polyhedron biasa, perkataan "cembung" sengaja tidak ditekankan - bergantung pada kejelasan yang jelas. Dan ini bermakna keperluan tambahan: "dan semua muka yang terletak pada satu sisi pesawat yang melalui mana-mana daripadanya." Jika kita meninggalkan sekatan sedemikian, maka kepada pepejal Platonik, sebagai tambahan kepada "oktahedron lanjutan", kita perlu menambah empat lagi polyhedra (ia dipanggil pepejal Kepler-Poinsot), setiap satunya akan "hampir biasa." Kesemuanya diperoleh dengan "membintangi" pepejal Platonik, iaitu, memanjangkan mukanya sehingga mereka bersilang antara satu sama lain, dan oleh itu dipanggil stellated. Kubus dan tetrahedron tidak menjana angka baharu - wajah mereka, tidak kira berapa banyak yang anda teruskan, jangan bersilang.
Jika anda memanjangkan semua muka octahedron sehingga ia bersilang antara satu sama lain, anda akan mendapat angka yang muncul apabila dua tetrahedra saling menembusi - "stella octangula", yang dipanggil "octahedron lanjutan."
Icosahedron dan dodecahedron memberikan dunia empat "polihedra hampir biasa" sekaligus. Salah seorang daripada mereka - dodecahedron berbintang kecil, pertama kali diperoleh oleh Johannes Kepler.
Selama berabad-abad, ahli matematik tidak mengiktiraf hak semua jenis bintang untuk dipanggil poligon kerana fakta bahawa sisi mereka bersilang. Dan di sini adalah badan geometri, yang mukanya adalah bintang berbucu lima, dan juga bersilang! Apakah jenis polihedron ini?! Ludwig Schläfli tidak mengeluarkan badan geometri dari keluarga polyhedra hanya kerana wajahnya bersilang dengan diri mereka bagaimanapun, dia tetap berkeras sebaik sahaja perbualan beralih kepada dodecahedron kecil. Hujahnya mudah dan berat: haiwan Keplerian ini tidak mematuhi formula Euler! Durinya dibentuk oleh dua belas muka, tiga puluh tepi dan dua belas bucu, dan, oleh itu, B+G-R tidak sama sekali sama dengan dua.
Schläfli adalah betul dan salah. Sudah tentu, landak geometri tidak begitu berduri untuk memberontak terhadap formula maksum. Anda hanya perlu tidak menganggap bahawa ia dibentuk oleh dua belas muka berbentuk bintang yang bersilang, tetapi lihat ia sebagai badan geometri yang ringkas dan jujur yang terdiri daripada 60 segi tiga, mempunyai 90 tepi dan 32 bucu.
Kemudian B+G-R=32+60-90 adalah sama, seperti yang dijangkakan, dengan 2. Tetapi kemudian perkataan "betul" tidak digunakan untuk polihedron ini - lagipun, mukanya kini tidak sama sisi, tetapi hanya segi tiga sama kaki. Kepler tidak menyedari bahawa angka yang diperolehnya mempunyai dua kali ganda. Polihedron dipanggil " dodecahedron yang hebat“-dibina oleh ahli geometer Perancis Louis Poinsot dua ratus tahun selepas angka bintang Keplerian.
Icosahedron yang hebat pertama kali diterangkan oleh Louis Pointsot pada tahun 1809. Dan sekali lagi Kepler, melihat dodecahedron stellated yang hebat, penghormatan membuka angka kedua diserahkan kepada Louis Poinsot. Angka-angka ini juga separuh mematuhi formula Euler.
Dalam ukiran Maurits Escher "Order and Chaos" dodecahedron berbintang, simbol keindahan dan ketertiban matematik, dikelilingi oleh sfera lutsinar. Ia mencerminkan koleksi tidak bermakna perkara yang tidak berguna. Keindahan figura berbentuk bintang mendapat tempat yang sangat kecil dalam kehidupan kita: mungkin lampu, dan walaupun begitu jarang sekali. Malah pengeluar hiasan pokok Krismas tidak terfikir untuk membuat bintang tiga dimensi, dan polihedron ini akan menjadi begitu sahaja.
Pepejal platonik, polihedra cembung, semua mukanya ialah poligon sekata yang sama dan semua sudut polihedral pada bucunya adalah sekata dan sama (Rajah 1a 1e). Dalam ruang Euclidean E 3 terdapat lima P. m., data yang diberikan dalam ... Ensiklopedia Matematik
Polihedron berdimensi-n biasa ialah polyhedra dalam ruang Euclidean berdimensi-n yang paling simetri dari segi tertentu. Polihedra tiga dimensi biasa juga dipanggil pepejal Platonik. Kandungan 1 Definisi 2 ... Wikipedia
Polihedron ialah permukaan yang terdiri daripada poligon, serta badan yang dibatasi oleh permukaan sedemikian. Kandungan 1 Tiga definisi 2 Variasi dan generalisasi 3 Gunakan ... Wikipedia
Polyhedra, semua muka yang merupakan poligon sekata beberapa nama yang berbeza, dan sudut polihedral pada bucu adalah kongruen. Terdapat 13 jenis P. m dan dua siri yang tidak berkesudahan. Lihat polihedron...
Atau pepejal Archimedean ialah polihedra cembung yang mempunyai dua sifat: Semua muka ialah poligon sekata dua atau lebih jenis (jika semua muka ialah poligon sekata jenis yang sama, ia adalah polihedron sekata); Untuk mana-mana pasangan... ... Wikipedia
Pepejal archimedean, polihedra cembung, semua mukanya ialah poligon sekata, dan sudut polihedral adalah kongruen atau simetri. Data pada P. m diberikan dalam jadual, di mana B ialah bilangan bucu, P ialah bilangan tepi, G ialah bilangan muka, dan G ialah k. nombor nk arang... ... Ensiklopedia Matematik
Polyhedron- Polyhedra (cembung biasa): 1 tetrahedron; 2 kiub; 3 oktahedron; 4 dodecahedron; 5 ikosahedron. POLIHEDON, permukaan yang terdiri daripada poligon (muka) supaya setiap sisi mana-mana daripadanya serentak adalah sisi poligon yang lain... ... Kamus Ensiklopedia Bergambar
Bahagian ruang yang dibatasi oleh koleksi bilangan terhingga poligon satah (lihat GEOMETRI) yang disambungkan sedemikian rupa sehingga setiap sisi mana-mana poligon adalah sisi tepat satu poligon lain (dipanggil... ... Ensiklopedia Collier
Dalam ruang tiga dimensi, himpunan bilangan terhingga poligon rata supaya setiap sisi mana-mana poligon secara serentak adalah sisi yang lain (tetapi hanya satu), dipanggil bersebelahan dengan yang pertama (di sebelah ini); daripada... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat
Dodecahedron Polihedron sekata atau pepejal Platonik ialah polihedron cembung yang terdiri daripada poligon sekata yang sama dan mempunyai simetri spatial ... Wikipedia
Buku
- Aspek Ajaib No. 12. Polihedron. polyhedra biasa. Mencipta model polyhedra dari kadbod adalah aktiviti yang sangat menarik dan boleh diakses, ia adalah "keajaiban mengubah" sehelai kertas menjadi angka tiga dimensi. Isu khas membolehkan anda mengumpul 5 betul…
- Kumpulan refleksi dan polyhedra biasa, Smirnov E.Yu.. Brosur itu ditulis berdasarkan siri kuliah yang diberikan oleh penulis kepada peserta dalam Summer School "Modern Mathematics" di Dubna pada 20-26 Julai 2008. Ia menggariskan klasifikasi biasa…
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS WILAYAH MOSCOW
INSTITUT KEMANUSIAAN SERANTAU NEGERI MOSCOW
JABATAN MATEMATIK DAN KAEDAH PENGAJARAN MATEMATIK
ABSTRAK
POLIHEDE BIASA DAN SEPARUH BIASA
PELAKON: .
MURID TAHUN 3, KUMPULAN 1
FAKULTI FIZIK DAN MATEMATIK
PANKOVA ANASTASIA OLEGOVNA
ANTONOVA ELENA NIKOLAEVNA
OREKHOVO-ZUEVO
polyhedra biasa
menantang kecil, tetapi yang ini sangat
skuad yang sederhana
berjaya menembusi ke dalam
pelbagai ilmu.
L. Carroll.
1. Pengenalan.
Lelaki telah meminati polyhedra biasa sepanjang hayatnya, daripada kanak-kanak berusia dua tahun bermain bongkah kayu kepada ahli matematik matang yang gemar membaca buku tentang polyhedra. Sebahagian daripada pepejal sekata dan separa sekata berlaku dalam alam semula jadi dalam bentuk kristal, yang lain - dalam bentuk virus (yang boleh dilihat menggunakan mikroskop elektron). Lebah membina sarang lebah heksagon jauh sebelum kemunculan manusia, dan dalam sejarah tamadun, penciptaan badan pelbagai rupa (seperti piramid), bersama-sama dengan jenis seni plastik yang lain, berlaku sejak berabad-abad lamanya.
Esei kami dikhaskan untuk topik polyhedra biasa dan separuh teratur. Mereka dikaji oleh Theaetetus, Plato, Euclid, Hypsicles dan Pappus. Juga, badan-badan yang menakjubkan ini tidak membuat kami acuh tak acuh. Lagipun, bentuk mereka adalah contoh kesempurnaan!
Berapakah bilangan polyhedra biasa yang ada? Apakah ciri yang mereka ada? Bagaimana untuk membuat model mana-mana polyhedron biasa? Di manakah anda boleh mencari mayat ini? Menjawab ini dan banyak soalan lain adalah matlamat kerja kami.
2. Polihedra biasa.
Polihedron dipanggil betul, jika: pertama, ia adalah cembung; kedua, semua mukanya adalah poligon sekata sama antara satu sama lain; ketiga, bilangan tepi yang sama menumpu pada setiap bucunya; dan keempat, semua sudut dihedralnya adalah sama.
Timbul persoalan: berapa banyak polyhedra biasa yang ada? Pada pandangan pertama, jawapan kepada soalan ini sangat mudah - terdapat seberapa banyak poligon sekata yang ada. Walau bagaimanapun, ia tidak. Dalam Elemen Euclid kita dapati bukti yang kukuh bahawa terdapat hanya lima polyhedra sekata cembung - tidak lebih dan tidak kurang, dan muka mereka hanya boleh menjadi tiga jenis poligon sekata: segi tiga, segi empat sama dan pentagon atau pentagon sekata (tetrahedron, hexahedron (kubus) , oktahedron, ikosahedron dan dodekahedron).
Nama polyhedra biasa berasal dari Greece. Diterjemah secara literal daripada bahasa Yunani, "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "icosahedron" bermaksud: "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "dua puluh hedron". Buku ke-13 Euclid's Elements didedikasikan untuk badan yang cantik ini.
Semua polyhedra biasa dinamakan pepejal platonik, kerana mereka menduduki tempat penting dalam konsep falsafah Plato tentang struktur alam semesta.
Plato (427-347 SM)
Empat polihedron mempersonifikasikan empat intipati atau "elemen" di dalamnya. Tetrahedron melambangkan api, kerana puncaknya menghala ke atas; icosahedron - air, kerana ia adalah yang paling "diselaraskan"; kiub - bumi, sebagai yang paling "stabil"; octahedron - udara, sebagai yang paling "lapang". Polihedron kelima, dodecahedron, merangkumi "semua yang wujud atau" "Minda Sejagat", melambangkan seluruh alam semesta, dan dianggap sebagai perkara utama.
Orang Yunani purba menganggap hubungan harmoni sebagai asas alam semesta, jadi empat unsur mereka dihubungkan dengan perkadaran berikut: bumi/air = udara/api.
Tetrahedron – Ini ialah tetrahedron, semua mukanya adalah segi tiga, i.e. piramid segi tiga; tetrahedron sekata dibatasi oleh empat segi tiga sama sisi; satu daripada lima poligon sekata (Rajah 1-a). Dalam tetrahedron, tiga segi tiga sama sisi bertemu pada satu bucu; pada masa yang sama, tapaknya membentuk segi tiga sama sisi yang baharu. Tetrahedron mempunyai bilangan muka terkecil di antara pepejal Platonik dan merupakan analog tiga dimensi bagi segi tiga sekata rata, yang mempunyai bilangan sisi terkecil antara poligon sekata.
Kubus atau heksaedron biasa - ini ialah prisma segi empat sama sekata dengan tepi yang sama, dihadkan oleh enam segi empat sama (Rajah 1-b). Kubus dibuat dengan menyambung tiga petak pada satu titik dan kemudian menambah tiga lagi.
Octahedron - ini ialah oktahedron; badan yang dibatasi oleh lapan segi tiga; oktahedron sekata dibatasi oleh lapan segi tiga sama sisi; satu daripada lima polyhedra biasa (Rajah 1-c). Dalam oktahedron, empat segi tiga bertemu pada satu bucu; terhasil ialah sebuah piramid dengan tapak segi empat.
Icosahedron - ia adalah dua puluh hedron, badan yang dibatasi oleh dua puluh poligon; ikosahedron sekata dibatasi oleh dua puluh segi tiga sama sisi ( Rajah 1-d).
Dodecahedron - ia adalah dodekahedron, badan yang dibatasi oleh dua belas poligon; pentagon biasa ( Rajah 1-d ). Ia berdasarkan penggunaan poligon sekata berikut − Pentagon.
Gambar 1. Pepejal platonik: (a) oktahedron (“Api”), (b) hexahedron atau kubus (“Bumi”),
(c) oktahedron (“Udara”), (d) icosahedron (“Air”), (e) dodecahedron (“Minda Sejagat”)
Poligon sekata seterusnya ialah segi enam. Walau bagaimanapun, jika kita menyambung tiga heksagon pada satu titik, kita mendapat permukaan, iaitu, adalah mustahil untuk membina angka tiga dimensi dari heksagon. Mana-mana poligon sekata lain di atas heksagon tidak boleh membentuk pepejal sama sekali. Daripada pertimbangan ini, hanya terdapat lima polyhedra sekata, yang mukanya hanya boleh menjadi segi tiga sama sisi, segi empat sama dan pentagon.
Kubus dan oktahedron adalah dwi, i.e. diperoleh daripada satu sama lain jika pusat graviti muka satu diambil sebagai bucu yang lain dan sebaliknya. Dodecahedron dan icosahedron adalah sama dwi. Tetrahedron adalah dwi kepada dirinya sendiri. Dodekahedron biasa diperoleh daripada kubus dengan membina "bumbung" pada mukanya (kaedah Euclidean); bucu tetrahedron ialah mana-mana empat bucu kubus yang tidak bersebelahan berpasangan di sepanjang tepi. Ini adalah bagaimana semua polyhedra biasa lain diperoleh daripada kubus. Fakta kewujudan hanya lima polyhedra yang benar-benar sekata adalah mengejutkan - lagipun, terdapat banyak poligon sekata yang tidak terhingga di dalam pesawat!
Perkembangan polyhedra biasa:
3. Bukti kewujudan lima polyhedra biasa.
Kita tahu bahawa terdapat hanya lima polyhedra biasa. Sekarang mari kita cuba buktikan.
Katakan bahawa polihedron biasa mempunyai G
muka, setiap satunya ialah n-gon sekata, menumpu pada setiap bucu k tepi, jumlah dalam polihedron DALAM puncak dan R tepi, dan n 
3, kerana sekurang-kurangnya tiga sisi menumpu pada setiap bucu, dan k3, kerana sekurang-kurangnya tiga tepi menumpu pada setiap bucu .
Mengira tepi di sepanjang muka, kita dapat: n Г = 2Р.
Setiap tepi kepunyaan dua muka, yang bermaksud bahawa dalam produk
n G nombor P digandakan.
Mengira tepi dengan bucu, kita dapat: kB = 2P, kerana setiap tepi bersempadan dengan 2 bucu. Kemudian kesamaan Euler memberikan:
atau 
.
(*)
Dengan syarat 
, Kemudian 
, iaitu n dan k tidak boleh lebih daripada tiga. Sebagai contoh, jika terdapat n = 4 dan k = 4, maka 
Kemudian 
Dan 
Dengan anggaran, anda boleh menyemak bahawa nilai lain n dan k, lebih besar daripada 3, tidak memenuhi kesamaan (*). Ini bermakna sama ada k = 3 atau n = 3.
biarlah n = 3 , maka kesamaan (*) akan mengambil bentuk:
atau 
Kerana ia 
boleh mengambil nilai 
,
,
mereka. k = 3, 4, 5.
Jika k = 3, n = 3, maka P = 6, Г = 
B = 
ialah tetrahedron (lihat Jadual 1).
Jika k = 4, n = 3, maka P = 12, G = 
, B = 
- ini ialah oktahedron.
Jika k = 5, n = 3, maka P = 30, G = 
B = 
- ini ialah icosahedron.
Biarkan sekarang k = 3, maka kesamaan (*) akan mengambil bentuk:
, atau 
Ia berikutan bahawa n boleh mengambil nilai 3, 4, 5.
Kes n = 3 telah dianalisis.
Dua kes kekal:
n = 4 untuk k = 3, maka , i.e. P = 12, G = , V = - ini ialah kubus.
n = 5 pada k = 3, maka 
, P = 30, G = 12, V = 30 - ini adalah dodecahedron.
Jadi kami telah membuktikan bahawa terdapat lima dan hanya lima polyhedra cembung biasa. Bukti bahawa tidak mungkin ada lagi terkandung dalam Elemen Euclid, dan Theaetetus dianggap sebagai pengarang bukti ini. Adalah diketahui bahawa selama beberapa tahun Theaetetus adalah ahli Akademi dan rapat dengan Plato, dan keakraban ini dapat menjelaskan hakikat bahawa Plato ternyata biasa dengan penemuan terkini dalam bidang stereometri pada masa itu.
Poligon sekata dan betul polyhedra dikaitkan dengan keindahan dan kesempurnaan bentuk... Ini adalah bentuk bintang terakhir betul dodecahedron. Betul polihedron, terdiri daripada 12 sama sisi...
Pembinaan primitif grafik Model matematik permukaan dan objek
Kerja Kursus >> MatematikRehat betul polyhedra. Hakikat kewujudan hanya lima adalah benar-benar betul polyhedra menakjubkan - selepas semua betul poligon...
Kristal (2)
Abstrak >> GeologiDianggap ilmu zaman itu. Untuk sebahagian besar betul polyhedra telah dipelajari oleh orang Yunani kuno. Beberapa... lima betul polyhedra dan bukti pertama yang diketahui bahawa terdapat lima daripadanya. Betul polyhedra ciri...
platon bintang polihedron
Sebutan pertama polyhedra diketahui tiga ribu tahun SM di Mesir dan Babylon. Cukuplah untuk mengingati piramid Mesir yang terkenal dan yang paling terkenal daripadanya, Piramid Cheops. ini piramid biasa, di pangkalnya adalah segi empat sama dengan sisi 233 m dan ketinggiannya mencapai 146.5 m Tidaklah kebetulan mereka mengatakan bahawa piramid Cheops adalah risalah senyap tentang geometri.
Sejarah polyhedra biasa kembali ke zaman purba. Sejak abad ke-7 SM di Yunani purba Sekolah falsafah sedang diwujudkan. sangat penting di sekolah-sekolah ini, penaakulan telah diperoleh, dengan bantuan yang mungkin untuk mendapatkan sifat geometri baru.
Salah satu sekolah yang pertama dan paling terkenal ialah sekolah Pythagoras, dinamakan sempena pengasasnya Pythagoras. Tanda tersendiri Pythagoreans ialah pentagram, dalam bahasa matematik ia adalah pentagon biasa tidak cembung atau berbentuk bintang. Pentagram itu diberikan keupayaan untuk melindungi seseorang daripada roh jahat.
Pythagoreans percaya bahawa jirim terdiri daripada empat unsur asas: api, tanah, udara dan air. Mereka mengaitkan kewujudan lima polyhedra biasa kepada struktur jirim dan Alam Semesta. Menurut pendapat ini, atom unsur utama mesti mempunyai bentuk badan yang berbeza:
Alam Semesta adalah dodecahedron
Bumi - kiub
Api - tetrahedron
Air - icosahedron
Udara - oktahedron
Kemudian, ajaran Pythagoreans tentang polyhedra biasa telah digariskan dalam karyanya oleh seorang lagi saintis Yunani kuno, ahli falsafah idealis Plato. Sejak itu, polyhedra biasa telah dipanggil pepejal Platonik.
Penemuan tiga belas polyhedra cembung separa teratur dikaitkan dengan Archimedes, yang mula-mula menyenaraikannya dalam karya yang masih ada. Rujukan kepada karya ini boleh didapati dalam karya ahli matematik Pappus.
Apabila anda mula-mula berkenalan dengan topik ini, persoalan semula jadi timbul: apakah polihedron? Geometri kadangkala boleh ditakrifkan sebagai sains ruang dan angka ruang - dua dimensi dalam planimetri dan tiga dimensi dalam stereometri. Jika kita menggunakan bahasa set-teoretik, maka angka pada satah boleh digambarkan sebagai satu set segmen garisan yang mengikat sebahagian satah. Angka rata sedemikian dipanggil poligon. Ia berikutan bahawa polihedron boleh ditakrifkan sebagai satu set poligon yang mengikat sebahagian daripada ruang tiga dimensi.
Polihedron ialah bahagian ruang yang dibatasi oleh himpunan bilangan terhingga poligon satah yang disambungkan sedemikian rupa sehingga setiap sisi mana-mana poligon adalah sisi tepat satu poligon lain (dipanggil bersebelahan), dan di sekeliling setiap bucu terdapat tepat satu kitaran poligon. Poligon ini dipanggil muka, sisinya dipanggil tepi, dan bucunya dipanggil bucu polihedron.
Klasifikasi polyhedra:
- 1. Polihedra biasa
- 2. Prisma
- 3. Piramid
Prisma ialah polihedron, dua daripadanya muka (tapak prisma) adalah poligon yang sama dengan sisi yang saling selari, dan semua muka lain ialah segi empat selari. Prisma dipanggil lurus jika tepinya berserenjang dengan satah tapak. Jika tapak prisma itu ialah segi empat tepat, prisma itu dipanggil selari.
Piramid ialah polihedron, satu muka daripadanya ialah poligon, dan muka selebihnya ialah segi tiga dengan bucu sepunya. Piramid dipanggil sekata jika tapaknya ialah poligon sekata dan ketinggian piramid itu melalui pusat poligon. Piramid dipanggil terpotong jika bucunya dipotong oleh satah.
Prismatoid ialah polihedron yang dibatasi oleh dua poligon yang terletak dalam satah selari (ia adalah tapaknya); muka sisinya ialah segi tiga atau trapezoid, bucunya juga bucu poligon tapak.
