رسالة متعددات الوجوه العادية. مجردة متعددات الوجوه العادية

- (تعريف) جسم هندسي يحده من جميع الجوانب مضلعات مسطحة - حواف.

أمثلة على متعددات الوجوه:

تسمى جوانب الوجوه بالحواف، ونهايات الحواف تسمى القمم. بناءً على عدد الوجوه، يتم التمييز بين 4 جوانب و5 جوانب وما إلى ذلك. يسمى متعدد السطوح محدب، إذا كان كله يقع على جانب واحد من مستوى كل وجه من وجوهه. يسمى متعدد السطوح صحيح، إذا كانت وجوهها مضلعات منتظمة (أي تلك التي تكون جميع أضلاعها وزواياها متساوية) وجميع زوايا متعددة السطوح عند الرءوس متساوية. هناك خمسة أنواع من متعددات السطوح العادية: رباعي السطوح، مكعب، ثماني السطوح، اثني عشري السطوح.

متعدد السطوحفي الفضاء ثلاثي الأبعاد (مفهوم متعدد السطوح) - مجموعة من عدد محدود من المضلعات المسطحة بحيث

1) كل جانب من أحدهما هو في نفس الوقت جانب من الآخر (لكن واحدًا فقط)، يسمى مجاورًا للأول (على هذا الجانب)؛

2) من أي من المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح يمكنك الوصول إلى أي منها بالذهاب إلى المضلع المجاور لها ومن هذا بدوره إلى المضلع المجاور لها وما إلى ذلك.

تسمى هذه المضلعات حواف، جوانبهم ضلوع، وقممهم هي قمممتعدد السطوح.

رؤوس متعدد السطوح

حواف متعددة السطوح

وجوه متعدد السطوح

يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان يقع على جانب واحد من مستوى أي من وجوهه.

ويترتب على هذا التعريف أن جميع وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. يتكون سطح متعدد السطوح المحدب من وجوه تقع في مستويات مختلفة. في هذه الحالة، حواف متعدد السطوح هي جوانب المضلعات، ورؤوس متعدد السطوح هي رؤوس الوجوه، والزوايا المسطحة لمتعدد السطوح هي زوايا المضلعات - الوجوه.

يسمى متعدد السطوح المحدب الذي تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين منشوري. المنشور والهرم والهرم المقطوع هي حالات خاصة من المنشوري. جميع الوجوه الجانبية للمنشوري هي مثلثات أو رباعيات، والأوجه الرباعية هي شبه منحرف أو متوازيات الأضلاع.

يُظهر الشخص اهتمامًا بمتعددات الوجوه طوال نشاطه الواعي بأكمله - بدءًا من طفل يبلغ من العمر عامين يلعب بكتل خشبية وحتى عالم رياضيات ناضج. ويرتبط الاهتمام الخاص بالمضلعات المنتظمة ومتعددات الوجوه المنتظمة بجمال الشكل وكماله. إنها شائعة جدًا في الطبيعة. ويكفي أن نتذكر شكل رقاقات الثلج، والوجوه البلورية، والخلايا الموجودة في قرص العسل. يمكن استخدام المضلعات المنتظمة ليس فقط لتكوين أشكال مسطحة، بل أيضًا أشكال مكانية.

كما درس اليونانيون القدماء العديد من الخصائص الهندسية للمواد الصلبة الأفلاطونية؛ (ويمكن الاطلاع على ثمار أبحاثهم في الكتاب الثالث عشر بدأإقليدس ((انظر أيضًا الهندسة)). تستمر دراسة المواد الصلبة الأفلاطونية والأشكال ذات الصلة حتى يومنا هذا. على الرغم من أن الجمال والتماثل هما الدوافع الرئيسية للبحث الحديث، إلا أن لهما أيضًا بعض الأهمية العلمية، خاصة في علم البلورات. توجد بلورات ملح الطعام وثيوأنتيمونيد الصوديوم وشب الكروم في الطبيعة على شكل مكعب ورباعي السطوح وثماني السطوح على التوالي. لا يتم العثور على المجسمات العشرينية الوجوه والاثني عشرية بين الأشكال البلورية، ولكن يمكن ملاحظتها بين أشكال الكائنات البحرية المجهرية المعروفة باسم الشعاعيات.

نجم متعدد السطوحهو متعدد السطوح منتظم غير محدب. تمت دراسة متعددات الوجوه منذ العصور القديمة بسبب خصائصها التناظرية غير العادية. كما تستخدم الأشكال متعددة السطوح على نطاق واسع في الفنون الزخرفية.

تعتبر متعددات الوجوه على شكل نجمة مزخرفة للغاية، مما يسمح باستخدامها على نطاق واسع في صناعة المجوهرات في صناعة جميع أنواع المجوهرات. كما أنها تستخدم في الهندسة المعمارية. العديد من أشكال متعددات الوجوه النجمية تقترحها الطبيعة نفسها. رقاقات الثلج هي متعددات الوجوه على شكل نجمة. منذ العصور القديمة، حاول الناس وصف جميع الأنواع الممكنة من رقاقات الثلج وقاموا بتجميع أطالس خاصة. عدة آلاف معروفة الآن أنواع مختلفةرقاقات الثلج. هناك أنواع عديدة من متعددات الوجوه النجمية.

رباعي الاسطح

(من اليونانية tetra - أربعة وhedra - الحافة)

أبسط متعدد السطوح هو رباعي السطوح. نحن هنا بحاجة إلى مواصلة ليس الحواف، ولكن وجوه متعدد السطوح. ومع ذلك، فإن المستويات الأربعة - استمرار وجوه رباعي السطوح - تحد فقط ذلك الجزء من الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يتزامن مع الجسم الأصلي. المستويات الستة للمكعب متوازية في أزواج ومتعامدة بشكل متبادل، مثل جوانب التماثل ثنائي الأبعاد للمكعب - المربع. لذلك، في الحالة ثلاثية الأبعاد، لا تتم إضافة أي أجزاء جديدة إلى المكعب. ولكن بالفعل حالة المجسم الثماني تعطي نتائج مثيرة للاهتمام. ثماني طائرات - استمرار وجوه المجسم الثماني - تفصل أجزاء جديدة عن الفضاء، إذا جاز التعبير، "المقصورات"، خارج المجسم الثماني. ستجد أن هذه الأجزاء ليست أكثر من رباعيات وجوه صغيرة تتطابق قواعدها مع وجوه المجسم الثماني. إذا قمت الآن بربط هذه الأجزاء عقليًا بالمجسم الثماني بحيث تختفي وجوهها المشتركة مع المجسم الثماني، تاركة الجزء الداخلي من الجسم الجديد مجوفًا، سيظهر أمام عينيك متعدد السطوح غير محدب.

المجسم النجمي

(من الكلمة اليونانية octo - ثمانية وهيدرا - الحافة)

اكتشفه ليوناردو دافنشي، ثم أعاد كيبلر اكتشافه بعد 100 عام تقريبًا، وأطلق عليه اسم "ستيلا أوكتانجولا" - نجم مثمن الشكل. ومن هنا فإن المجسم الثماني يحمل الاسم الثاني "نجمة كيبلر الثماني".

المجسم الثماني له 6 رؤوس و12 حرفًا. باستخدام مثال المجسم الثماني، يمكنك التحقق من صيغة أويلر 6в+8г-12r=2. وفي كل قمة يتقاربون 4 المثلث، وهكذا مجموع زوايا المستوى عند الرأسالمجسم الثماني هو 240 °.من تعريف متعدد السطوح المنتظم يترتب على ذلك أن جميع حواف المجسم الثماني لها نفس الطول، وأن الوجوه لها مساحة متساوية.

بلورات الماس هي جزيئات بوليمر عملاقة وعادة ما تكون على شكل ثماني السطوح

الاثني عشري النجمي العظيم

ينتمي ثنائي الوجوه النجمي الكبير إلى عائلة المواد الصلبة كبلر-بوينسو، أي متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة. وجوه الاثني عشر وجها النجمية الكبيرة هي خماسية، مثل تلك الموجودة في الاثني عشر وجها النجمية الصغيرة. كل قمة لها ثلاثة وجوه متصلة. تتطابق رؤوس الاثني عشر وجهًا النجمي الكبير مع رؤوس الاثني عشر وجهًا الموصوف، وقد وصف كيبلر هذا الشكل النجمي الكبير لأول مرة في عام 1619، وهو الشكل النجمي الأخير من الاثني عشر وجهًا المنتظم.

متعدد السطوح منتظم يتكون من 12 خماسيات متساوية الأضلاع. الاثني عشر وجها لديه 20 قممو 30 ضلع. قمة الاثني عشر وجهًا هي قمة ثلاثة خماسيات، وبالتالي مجموع زوايا المستوىعند كل قمة 324 درجة.

في كيمياءعادة ما يتم الحديث عن هذه العناصر فقط: النار والأرض والهواء والماء؛ ونادرا ما يتم ذكر الأثير لأنه مقدس للغاية. في مدرسة فيثاغورس، إذا ذكرت للتو كلمة "اثني عشر وجهًا" خارج أسوار المدرسة، فسوف تُقتل على الفور. وكان هذا الرقم يعتبر مقدسا جدا. ولم يتحدثوا عنها حتى. وبعد مائتي عام، خلال حياة أفلاطون، تحدثوا عن ذلك، ولكن بحذر شديد. لماذا؟ لأن الاثني عشر وجهًا يقع على الحافة الخارجية لمجال الطاقة لديك وهو أعلى شكل من أشكال الوعي. عندما تصل إلى الحد الأقصى البالغ 55 قدمًا لمجال الطاقة لديك، فإنه سيتخذ شكلًا كرويًا. لكن الشكل الداخلي الأقرب إلى الكرة هو الاثني عشر وجهًا (في الواقع، علاقة اثني عشر السطوح مع عشريني السطوح). بالإضافة إلى ذلك، نحن نعيش داخل اثني عشر وجهًا كبيرًا يحتوي على الكون. عندما يصل عقلك إلى حد الفضاء الفضائي - وهناك حد هنا - فإنه يتعثر على شكل اثني عشري مغلق في كرة. الاثني عشر وجهًا هو الشكل النهائي للهندسة وهو مهم جدًا

في الصميم هياكل الحمض النوويتكمن الهندسة المقدسة، على الرغم من أنه من الممكن أيضًا الكشف عن علاقات مخفية أخرى. يوضح كتاب دان وينتر Heartmath أن جزيء الحمض النووي يتكون من العلاقات المزدوجة بين الاثني عشري الوجوه والإيكوساهيدرون.

نجمي عشروني الوجوه

للمجسم العشري عشرون وجهًا. إذا استمر كل واحد منهم إلى أجل غير مسمى، فسيكون الجسم محاطًا بمجموعة كبيرة ومتنوعة من المقصورات - أجزاء من الفضاء محدودة بمستويات الوجوه. يمكن الحصول على جميع الأشكال النجمية للمجسم العشروني بإضافة هذه الأجزاء إلى الجسم الأصلي. بغض النظر عن المجسم العشروني نفسه، فإن امتدادات وجوهه مفصولة عن الفضاء بـ 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 حجرة من عشرة أشكال وأحجام مختلفة. ويتكون المجسم العشروني الكبير (انظر الشكل) من كل هذه القطع، باستثناء الستين الأخيرة.

متعدد السطوح محدب منتظم يتكون من 20 مثلثات منتظمة. كل من 12 قممالعشروني الوجوه هو الرأس 5 مثلثات متساوية الأضلاع، لذلك مجموع الزوايافي الأعلى متساوي 300 درجة .

توجد في الطبيعة كائنات ذات تناظر من الدرجة الخامسة. على سبيل المثال، من المعروف أن الفيروسات تحتوي على مجموعات في شكل عشروني الوجوه. إن اكتشاف الفوليرين، الذي يتمتع جزيئه C60 أيضًا بهذا النوع من التناظر، قد حفز الاهتمام بمثل هذه الأشياء. قام ج. هيوبرت وزملاؤه (ه. هيوبرت، جامعة أريزونا، الولايات المتحدة الأمريكية) بتصنيع بلورات B6O من خليط من B وB2O3، والذي تم الاحتفاظ به عند درجة حرارة 1700 درجة مئوية وضغط يتراوح من 4 إلى 5.5 جيجا باسكال لمدة 30 دقائق. يحتوي أكسيد البورون الناتج على شبكة بلورية معينة السطوح مع إحدى زوايا القمة المسطحة التي تساوي 63.1 درجة. هذه القيمة قريبة جدًا من الزاوية 63.4 درجة المطلوبة لتكوين 20 رباعي الأسطح عشروني الوجوه منتظم. المجسمات العشرونية الأولية قادرة على التجمع في مجموعات أكبر: المجسم العشروني المسطح المركزي محاط بـ 12 جسيمًا متشابهًا، تقع مراكزها في رؤوس عشروني الوجوه أكبر من الدرجة الثانية. يمكن أن يصل عدد الذرات في مثل هذا العنقود الفائق إلى 1014 ذرة. ويبلغ حجم الكتلة ذات العشرين وجهًا حوالي 15 ميكرون. لا يمكن اعتبار هذا المنتج الاصطناعي بلورة واحدة، لأنه لا يحتوي على شبكة بلورية دورية. إن الكثافة المنخفضة لهذه الجسيمات ذات الصلابة القريبة من صلابة الماس والمقاومة الكيميائية العالية تجعلها واعدة في إنشاء مواد جديدة للتكنولوجيا.

أجسام كبلر-بوينسو

اثنان من رباعيات السطوح يمران عبر بعضهما البعض يشكلان مجسمًا مثمنًا. يوهانس كيبلرأعطى هذا الشكل اسم "النجمة الثماني" - "النجم المثمن".
وهو موجود أيضًا في الطبيعة: وهذا ما يسمى كريستال مزدوج. نحن مضطرون إلى التعرف على "النجمة الثماني" باعتبارها متعدد السطوح منتظم: بعد كل شيء، كل وجوهها هي مثلثات منتظمة من نفس الحجم وجميع الزوايا بينهما متساوية! ما هذا - الصلبة الأفلاطونية السادسة؟! لا، مجرد استفزاز ناجح.

في تعريف متعدد السطوح المنتظم، لم يتم التأكيد عمدًا على كلمة "محدب" - بالاعتماد على الوضوح الواضح. ويعني شرطا إضافيا: "وكل وجوهها تقع على جانب واحد من الطائرة المارة بأي منها". إذا تخلينا عن هذا القيد، فإلى المواد الصلبة الأفلاطونية، بالإضافة إلى "المجسم الثماني الممتد"، سيتعين علينا إضافة أربعة متعددات وجوه أخرى (يطلق عليها اسم المواد الصلبة Kepler-Poinsot)، كل منها سيكون "منتظمًا تقريبًا". وجميعها يتم الحصول عليها عن طريق "نجمة" المجسم الأفلاطوني، أي مد وجوهها حتى تتقاطع مع بعضها البعض، ولذلك تسمى نجمية. المكعب ورباعي السطوح لا يولدان أشكالًا جديدة - وجوههما، بغض النظر عن مدى استمرارك، لا تتقاطع.

إذا قمت بتمديد جميع وجوه المجسم الثماني حتى تتقاطع مع بعضها البعض، فستحصل على الشكل الذي يظهر عندما يتداخل رباعيان السطوح - "النجمة المجسمة"، والتي تسمى "المجسم الثماني الممتد".

إن المجسمات العشرونية والاثني عشرية تعطي للعالم أربعة "متعددات وجوه منتظمة تقريبًا" في وقت واحد. واحد منهم - نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا، حصل عليها لأول مرة يوهانس كيبلر.

لعدة قرون، لم يعترف علماء الرياضيات بحق جميع أنواع النجوم في أن تسمى مضلعات بسبب تقاطع أضلاعها. وهنا جسم هندسي وجوهه عبارة عن نجوم خماسية وحتى متقاطعة! أي نوع من متعدد السطوح هذا؟! لم يطرد لودفيج شلايفلي جسمًا هندسيًا من عائلة متعددات الوجوه لمجرد أن وجوهه تتقاطع مع بعضها البعض؛ ومع ذلك، فقد ظل مصرًا بمجرد أن تحول الحديث إلى النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا. وكانت حجته بسيطة وهامة: هذا الحيوان الكبليري لا يطيع صيغة أويلر! تتكون أشواكها من اثني عشر وجهًا وثلاثين حرفًا واثني عشر رأسًا، وبالتالي فإن B+G-R لا يساوي اثنين على الإطلاق.

لقد كان شلفلي على حق وعلى خطأ. بالطبع، القنفذ الهندسي ليس شائكًا لدرجة أنه يتمرد على الصيغة المعصومة من الخطأ. لا تحتاج فقط إلى اعتبار أنه يتكون من اثني عشر وجهًا متقاطعًا على شكل نجمة، ولكن انظر إليه كجسم هندسي بسيط وصادق يتكون من 60 مثلثًا، له 90 حرفًا و32 رأسًا.

إذن B+G-R=32+60-90 يساوي، كما هو متوقع، 2. لكن كلمة "صحيح" لا تنطبق على هذا متعدد السطوح - بعد كل شيء، وجوهه الآن ليست متساوية الأضلاع، ولكنها مجرد مثلثات متساوية الساقين. ولم يدرك كيبلر أن الرقم الذي حصل عليه كان مزدوجًا. متعدد السطوح يسمى " الاثني عشر وجها عظيما"- شيده عالم الهندسة الفرنسي لويس بوانسوت بعد مائتي عام من أرقام النجوم الكبلرية.

المجسم العشروني العظيمتم وصفه لأول مرة من قبل لويس بوانسوت في عام 1809. ومرة أخرى، رؤية كيبلر الاثني عشري النجمي الكبير، وقد ترك شرف افتتاح الشكل الثاني للويس بوانسوت. هذه الأرقام أيضًا تخضع نصفها لصيغة أويلر.

في نقش موريتس إيشر “النظام والفوضى” الاثني عشري النجمي، رمز الجمال والنظام الرياضي، محاط بمجال شفاف. إنه يعكس مجموعة لا معنى لها من الأشياء عديمة الفائدة. ومن المثير للدهشة أن جمال الأشكال النجمية لا يجد مكانًا كبيرًا في حياتنا: ربما المصابيح، وحتى في هذه الحالة نادرًا جدًا. حتى الشركات المصنعة لزينة شجرة عيد الميلاد لم تفكر في صنع نجوم ثلاثية الأبعاد، وكان من الممكن أن تكون هذه الأشكال متعددة السطوح مجرد ذلك.

المواد الصلبة الأفلاطونية، ومتعددات السطوح المحدبة، وجميع وجوهها مضلعات منتظمة متطابقة وجميع زوايا متعددات السطوح عند القمم منتظمة ومتساوية (الشكل 1 أ 1 هـ). في الفضاء الإقليدي E 3 هناك خمسة مساءً، البيانات عنها مذكورة في ... الموسوعة الرياضية

متعدد السطوح المنتظم ذو الأبعاد n هو متعدد السطوح في الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n وهو الأكثر تناسقًا إلى حد ما. وتسمى أيضًا متعددات الوجوه المنتظمة ثلاثية الأبعاد بالمواد الصلبة الأفلاطونية. المحتويات 1 التعريف 2 ... ويكيبيديا

متعدد السطوح هو سطح يتكون من مضلعات، بالإضافة إلى جسم يحده هذا السطح. المحتويات 1 ثلاثة تعريفات 2 الاختلافات والتعميمات 3 الاستخدام ... ويكيبيديا

متعددات السطوح، جميع وجوهها عبارة عن مضلعات منتظمة لها عدة أسماء مختلفة، وتكون زوايا متعددات السطوح عند القمم متطابقة. هناك 13 نوعًا محددًا من P. m وسلسلتين لا نهاية لهما. انظر متعدد السطوح...

أو المواد الصلبة الأرخميدية هي متعددات وجوه محدبة لها خاصيتان: جميع الوجوه هي مضلعات منتظمة من نوعين أو أكثر (إذا كانت جميع الوجوه مضلعات منتظمة من نفس النوع، فهو متعدد وجوه منتظم)؛ لأي زوجين... ... ويكيبيديا

المواد الصلبة الأرخميدية، ومتعددات السطوح المحدبة، وجميع أوجهها مضلعات منتظمة، وزوايا متعددة السطوح متطابقة أو متناظرة. البيانات الخاصة بـ P. m ترد في الجدول، حيث B هو عدد القمم، P هو عدد الحواف، G هو عدد الوجوه، وG هو k. عدد نك من الفحم ... ... الموسوعة الرياضية

متعدد السطوح- متعددات الوجوه (محدبة منتظمة): 1 رباعي السطوح؛ 2 مكعب؛ 3 مجسم مجسم؛ 4 الاثني عشر وجها. 5 عشروني الوجوه. POLYHEDON، سطح يتكون من مضلعات (أوجه) بحيث يكون كل ضلع من أي منها في نفس الوقت جانبًا لمضلع آخر... ... القاموس الموسوعي المصور

جزء من الفضاء يحده مجموعة من المضلعات المستوية (انظر الهندسة) المتصلة بطريقة تجعل كل جانب من أي مضلع هو جانب مضلع واحد آخر بالضبط (يسمى... ... موسوعة كولير

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، مجموعة من عدد محدود من المضلعات المسطحة بحيث يكون كل جانب من أي من المضلعات في نفس الوقت جانبًا آخر (لكن واحدًا فقط)، يسمى مجاورًا للأول (على هذا الجانب)؛ من... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

متعدد السطوح المنتظم أو المادة الصلبة الأفلاطونية هو متعدد السطوح محدب يتكون من مضلعات منتظمة متطابقة ولها تناظر مكاني ... ويكيبيديا

كتب

• الأوجه السحرية رقم 12. متعدد السطوح. متعددات الوجوه العادية. يعد إنشاء نماذج لمتعددات الوجوه من الورق المقوى نشاطًا مثيرًا للغاية ويمكن الوصول إليه، فهو بمثابة "سحر تحويل" ورقة إلى شكل ثلاثي الأبعاد. يتيح لك الإصدار الخاص جمع 5 نقاط صحيحة...
• مجموعات من التأملات ومتعددات الوجوه المنتظمة، سميرنوف إي يو.. تم كتابة الكتيب بناءً على سلسلة من المحاضرات التي ألقاها المؤلف للمشاركين في المدرسة الصيفية "الرياضيات الحديثة" في دوبنا في 20-26 يوليو 2008. وهو يوضح الخطوط العريضة تصنيف منتظم…

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

وزارة التعليم والعلوم في منطقة موسكو

معهد موسكو الحكومي الإقليمي للعلوم الإنسانية

قسم الرياضيات وطرق تدريس الرياضيات

خلاصة

البوليهيدات العادية وشبه العادية

الممثلون : .

طلاب السنة الثالثة، المجموعة الأولى

كلية الفيزياء والرياضيات

بانكوفا أناستازيا أوليغوفنا

أنتونوفا إيلينا نيكولايفنا

أورخوفو-زويفو

متعددات الوجوه العادية

صغيرة بتحد، ولكن هذا واحد جدا

فرقة متواضعة

تمكنت من اختراق الأعماق

العلوم المختلفة.

إل كارول.

1 المقدمة.

لقد اهتم الإنسان بمتعددات الوجوه المنتظمة طوال حياته الواعية بأكملها، بدءًا من طفل يبلغ من العمر عامين يلعب بالمكعبات الخشبية إلى عالم رياضيات ناضج يستمتع بقراءة الكتب عن متعددات الوجوه. توجد بعض المواد الصلبة المنتظمة وشبه المنتظمة في الطبيعة على شكل بلورات، والبعض الآخر على شكل فيروسات (والتي يمكن رؤيتها باستخدام المجهر الإلكتروني). قام النحل ببناء أقراص العسل السداسية قبل ظهور الإنسان بوقت طويل، وفي تاريخ الحضارة، يعود إنشاء الأجسام متعددة الأوجه (مثل الأهرامات)، إلى جانب أنواع أخرى من الفنون التشكيلية، إلى قرون مضت.

مقالتنا مخصصة لموضوع متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة. تمت دراستها من قبل ثياتيتوس وأفلاطون وإقليدس وهيبسكليس وبابوس. كما أن هذه الأجساد المذهلة لم تتركنا غير مبالين. بعد كل شيء، شكلهم هو مثال على الكمال!

كم عدد متعددات الوجوه العادية الموجودة؟ ما هي الميزات التي لديهم؟ كيفية صنع نموذج لأي متعدد السطوح منتظم؟ أين يمكن أن تجد هذه الجثث؟ الإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى هو هدف عملنا.

2. متعددات الوجوه العادية.

يسمى متعدد السطوح صحيحإذا: أولاً، أنها محدبة؛ ثانياً: أن جميع وجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة متساوية بعضها مع بعض؛ ثالثا، نفس عدد الحواف تتلاقى عند كل من رؤوسها؛ ورابعًا، جميع زواياه ثنائية السطوح متساوية.

السؤال الذي يطرح نفسه: كم عدد متعددات الوجوه العادية الموجودة؟ للوهلة الأولى، الإجابة على هذا السؤال بسيطة للغاية - هناك عدد كبير من المضلعات المنتظمة. ومع ذلك، فهو ليس كذلك. في كتاب العناصر لإقليدس نجد دليلا قاطعا على أنه لا يوجد سوى خمسة متعددات وجوه منتظمة محدبة - لا أكثر ولا أقل، ووجوهها لا يمكن أن تكون إلا ثلاثة أنواع من المضلعات المنتظمة: مثلثات ومربعات وخماسيات أو خماسيات منتظمة (رباعي السطوح، سداسي السطوح (مكعب) ، المجسم الثماني، العشروني الوجوه، والاثني عشري).

أسماء متعددات الوجوه العادية تأتي من اليونان. تُترجم حرفيًا من اليونانية ، "رباعي السطوح" ، "ثماني السطوح" ، "سداسي السطوح" ، "اثني عشري الوجوه" ، "عشريني السطوح" تعني: "رباعي السطوح" ، "ثماني السطوح" ، "سداسي السطوح" ، "اثنا عشري الوجوه" ، "عشرون وجهًا". الكتاب الثالث عشر من عناصر إقليدس مخصص لهذه الأجسام الجميلة.

تتم تسمية جميع متعددات الوجوه العادية المواد الصلبة الأفلاطونيةلأنها احتلت مكانة مهمة في مفهوم أفلاطون الفلسفي عن بنية الكون.

أفلاطون (427-347 قبل الميلاد)

جسدت الأشكال المتعددة السطوح أربعة جواهر أو "عناصر" فيها. ويرمز رباعي السطوح إلى النار، لأن قمته تشير إلى الأعلى؛ متعدد الوجوه - الماء لأنه الأكثر "انسيابية" ؛ المكعب - الأرض باعتبارها الأكثر "ثباتًا" ؛ المجسم الثماني - الهواء باعتباره الأكثر "جيد التهوية". متعدد السطوح الخامس، الاثني عشري، يجسد "كل ما هو موجود أو" "العقل العالمي"، يرمز إلى الكون بأكمله، وكان يعتبر الشيء الرئيسي.

اعتبر اليونانيون القدماء أن العلاقات المتناغمة هي أساس الكون، فارتبطت عناصرها الأربعة بالتناسب التالي: الأرض/الماء = الهواء/النار.

رباعي الاسطح – وهذا هو رباعي الوجوه، وجوهه كلها مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. أحد المضلعات المنتظمة الخمسة (الشكل 1-أ). في رباعي السطوح، تلتقي ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع في قمة واحدة؛ وفي الوقت نفسه، تشكل قواعدها مثلثًا متساوي الأضلاع جديدًا. رباعي الأسطح لديه أصغر عدد من الوجوه بين المواد الصلبة الأفلاطونية وهو التناظرية ثلاثية الأبعاد لمثلث منتظم مسطح، والذي يحتوي على أقل عدد من الجوانب بين المضلعات العادية.

مكعب أو سداسي منتظم - هذا منشور رباعي الزوايا منتظم ذو حواف متساوية، محدود بستة مربعات (الشكل 1-ب). يتم الحصول على المكعب عن طريق ربط ثلاثة مربعات في نقطة واحدة ثم إضافة ثلاثة مربعات أخرى.

المجسم الثماني - هذا هو المجسم الثماني. جسم يحده ثمانية مثلثات. المجسم الثماني المنتظم يحده ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة (الشكل 1-ج). في المجسم الثماني، تلتقي أربعة مثلثات في قمة واحدة؛ والنتيجة هي هرم ذو قاعدة رباعية الزوايا.

عشروني الوجوه - وهو عبارة عن عشرين وجهًا، وهو جسم يحده عشرين مضلعًا؛ ويحد المجسم العشروني الوجوه المنتظم عشرين مثلثًا متساوي الأضلاع (الشكل 1-د).

الاثني عشر وجها - إنه اثني عشر وجهًا، وهو جسم يحده اثني عشر مضلعًا؛ البنتاغون العادي (الشكل 1-د ). لأنه يقوم على استخدام المضلع المنتظم التالي - خماسي الاضلاع.

الصورة 1.المواد الصلبة الأفلاطونية: (أ) المجسم الثماني ("النار")، (ب) السداسي أو المكعب ("الأرض")،
(ج) ثماني السطوح ("الهواء")، (د) عشري الوجوه ("ماء")، (هـ) ثنائي السطوح ("العقل العالمي")

المضلع المنتظم التالي هو سداسي الزوايا. ومع ذلك، إذا قمنا بتوصيل ثلاثة أشكال سداسية عند نقطة واحدة، فسنحصل على سطح، أي أنه من المستحيل بناء شكل ثلاثي الأبعاد من السداسيات. لا يمكن لأي مضلعات منتظمة أخرى فوق الشكل السداسي أن تشكل مواد صلبة على الإطلاق. ويترتب على هذه الاعتبارات أنه لا يوجد سوى خمسة متعددات وجوه منتظمة، يمكن أن تكون وجوهها فقط مثلثات ومربعات وخماسيات متساوية الأضلاع.

المكعب والمجسم الثماني ثنائيان، أي. يتم الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم أخذ مراكز ثقل وجوه أحدها كرؤوس للآخر والعكس صحيح. إن الاثني عشري الوجوه والإثني عشري الوجوه مزدوجان بالمثل. رباعي الاسطح مزدوج لذاته. يتم الحصول على الاثني عشر وجهًا منتظمًا من المكعب عن طريق إنشاء "أسقف" على وجوهه (الطريقة الإقليدية)؛ رؤوس رباعي الأسطح هي أي أربعة رؤوس للمكعب غير متجاورة بشكل مزدوج على طول الحافة. هذه هي الطريقة التي يتم بها الحصول على جميع متعددات الوجوه العادية الأخرى من المكعب. إن حقيقة وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة فقط هي حقيقة مثيرة للدهشة - فبعد كل شيء، هناك عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة على المستوى!

تطورات متعددات الوجوه المنتظمة:

3. إثبات وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة.

نحن نعلم أن هناك خمسة متعددات وجوه منتظمة فقط. الآن دعونا نحاول إثبات ذلك.

لنفترض أن متعدد السطوح العادية لديه ز الوجوه، كل منها عبارة عن n-gon منتظم، تتقارب عند كل قمة كالحواف، إجمالية في متعدد السطوح فيقمم و رالحواف، و ن 3، بما أن ثلاثة جوانب على الأقل تتقارب عند كل قمة، و k3، نظرًا لأن ثلاثة حواف على الأقل تتقارب عند كل قمة .

بعد حساب الحواف على طول الوجوه، نحصل على: n Г = 2Р.

تنتمي كل حافة إلى وجهين، مما يعني ذلك في المنتج

ن G الرقم P مضاعف.

بعد حساب الحواف حسب القمم، نحصل على: kB = 2P، حيث أن كل حافة تتاخم رأسين. ثم تعطي مساواة أويلر:

أو
. (*)

بالشرط
، ثم
، أي. لا يمكن أن يكون n وk أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، إذا كان هناك n = 4 و k = 4، إذن
ثم
و
من خلال التقدير، يمكنك التحقق من أن قيم n و k الأخرى، الأكبر من 3، لا تحقق المساواة (*). وهذا يعني إما ك = 3 أو ن = 3.

يترك ن = 3 , فإن المساواة (*) سوف تأخذ الشكل:

أو

بسبب ال
يمكن أن تأخذ القيم , ,

أولئك. ك = 3، 4، 5.

لو ك = 3، ن = 3، ثم P = 6، Г =
ب =
هو رباعي الاسطح (انظر الجدول 1).

لو ك = 4، ن = 3، ثم P = 12، G =
، ب =
- هذا مجسم مجسم.

لو ك = 5، ن = 3، ثم P = 30، G =
ب =
- هذا هو عشروني الوجوه.

لنفترض الآن أن k = 3، فإن المساواة (*) ستأخذ الشكل:

، أو

ويترتب على ذلك أن n يمكن أن تأخذ القيم 3، 4، 5.

تم تحليل الحالة n = 3.

تبقى حالتان:

ن = 4 ل ك = 3، ثم، أي. P = 12، G =، V = - هذا مكعب.

ن = 5 في ك = 3، إذن
، P = 30، G = 12، V = 30 - هذا هو الاثني عشر وجهًا.

لذلك أثبتنا أن هناك خمسة، وخمسة فقط متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة. والدليل على أنه لا يمكن أن يكون هناك المزيد موجود في كتاب العناصر لإقليدس، ويعتبر ثياتيتوس هو مؤلف هذا الدليل. ومن المعروف أن ثياتيتوس كان لعدة سنوات عضوًا في الأكاديمية وكان قريبًا من أفلاطون، وهذا القرب يمكن أن يفسر حقيقة أن أفلاطون تبين أنه كان على دراية بأحدث الاكتشافات في مجال القياس المجسم في ذلك الوقت.

المضلعات المنتظمة و صحيح متعددات الوجوهالمرتبطة بالجمال وكمال الشكل... وهذا هو شكل النجمة الأخير صحيحالاثني عشر وجها. صحيح متعدد السطوحمكونة من 12 شكل متساوي الأضلاع

بناء البدائيات الرسومية النماذج الرياضية للأسطح والأشياء

الدورات الدراسية >> الرياضيات

استراحة صحيح متعددات الوجوه. حقيقة وجود خمسة فقط هي في الحقيقة صحيح متعددات الوجوهمذهل - بعد كل شيء صحيحالمضلعات...

بلورات (2)

الملخص >> الجيولوجيا

اعتبره العلم في ذلك الوقت. إلى حد كبير صحيح متعددات الوجوهتمت دراستها من قبل اليونانيين القدماء. بعض... خمسة صحيح متعددات الوجوهوأول دليل معروف على وجود خمسة منهم بالضبط. صحيح متعددات الوجوهصفة مميزة...

أفلاطون نجمي متعدد السطوح

من المعروف أن الإشارات الأولى لمتعددات الوجوه تعود إلى ثلاثة آلاف سنة قبل الميلاد في مصر وبابل. ويكفي أن نذكر الأهرامات المصرية الشهيرة وأشهرها هرم خوفو. هذا الهرم المنتظمالذي في قاعدته مربع طول ضلعه 233 م ويصل ارتفاعه إلى 146.5 م، وليس من قبيل الصدفة أن يقولوا إن هرم خوفو عبارة عن دراسة صامتة في الهندسة.

يعود تاريخ متعددات الوجوه المنتظمة إلى العصور القديمة. منذ القرن السابع قبل الميلاد اليونان القديمةيتم إنشاء المدارس الفلسفية. أهمية عظيمةفي هذه المدارس، تم الحصول على المنطق، والذي كان من الممكن الحصول على خصائص هندسية جديدة.

ومن أولى المدارس وأشهرها المدرسة الفيثاغورية، والتي سميت على اسم مؤسسها فيثاغورس. كانت العلامة المميزة للفيثاغوريين هي النجم الخماسي، وفي لغة الرياضيات هو خماسي منتظم غير محدب أو على شكل نجمة. تم تكليف النجم الخماسي بالقدرة على حماية الإنسان من الأرواح الشريرة.

واعتقد الفيثاغوريون أن المادة تتكون من أربعة عناصر أساسية: النار، والتراب، والهواء، والماء. وأرجعوا وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة إلى بنية المادة والكون. ووفقاً لهذا الرأي فإن ذرات العناصر الأساسية يجب أن تتخذ شكل أجسام مختلفة:

الكون هو اثني عشر وجها

الأرض - مكعب

النار - رباعي الاسطح

الماء - متعدد الوجوه

الهواء - المجسم الثماني

في وقت لاحق، تم تحديد تدريس فيثاغورس حول متعددات الوجوه العادية في أعماله من قبل عالم يوناني قديم آخر، الفيلسوف المثالي أفلاطون. منذ ذلك الحين، أصبحت متعددات الوجوه العادية تسمى المواد الصلبة الأفلاطونية.

يُنسب اكتشاف ثلاثة عشر متعدد الوجوه محدبًا شبه منتظم إلى أرخميدس، الذي أدرجها لأول مرة في عمل موجود. المراجع لهذا العمل متوفرة في أعمال عالم الرياضيات بابوس.

عندما تتعرف على هذا الموضوع لأول مرة، ينشأ سؤال طبيعي: ما هو متعدد السطوح؟ يمكن تعريف الهندسة أحيانًا على أنها علم الفضاء والأشكال المكانية - ثنائية الأبعاد في القياس المستوي وثلاثي الأبعاد في القياس المجسم. إذا استخدمنا لغة نظرية المجموعات، فيمكن وصف الشكل الموجود على المستوى على أنه مجموعة من المقاطع المستقيمة التي تربط جزءًا من المستوى. يسمى هذا الشكل المسطح بالمضلع. ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريف متعدد السطوح على أنه مجموعة من المضلعات التي تربط جزءًا من الفضاء ثلاثي الأبعاد.

متعدد السطوح هو جزء من الفضاء يحده مجموعة من المضلعات المستوية المتصلة بحيث يكون كل جانب من أي مضلع هو جانب مضلع واحد آخر بالضبط (يسمى مجاور)، وحول كل قمة يوجد واحد بالضبط دورة المضلعات. تسمى هذه المضلعات الوجوه، وتسمى جوانبها الحواف، وتسمى رؤوسها رؤوس متعدد السطوح.

تصنيف متعددات الوجوه:

• 1. متعددات الوجوه العادية
• 2. المنشور
• 3. الأهرامات

المنشور هو متعدد السطوح، اثنان من وجوهه (قاعدتا المنشور) مضلعان متساويان لهما جوانب متوازية، وجميع الوجوه الأخرى متوازية الأضلاع. يسمى المنشور مستقيماً إذا كانت حوافه متعامدة مع مستوى القاعدة. إذا كانت قاعدة المنشور مستطيلة، فإن المنشور يسمى متوازي السطوح.

الهرم هو متعدد السطوح، أحد أوجهه مضلع، والأوجه المتبقية عبارة عن مثلثات ذات قمة مشتركة. يسمى الهرم منتظماً إذا كانت قاعدته مضلعاً منتظماً ويمر ارتفاع الهرم بمركز المضلع. يسمى الهرم مبتوراً إذا تم قطع قمته بواسطة مستوى.

المنشوري هو متعدد السطوح يحده مضلعان يقعان في مستويين متوازيين (هما قاعدته) ؛ وجوهها الجانبية هي مثلثات أو شبه منحرف، رؤوسها هي أيضًا رؤوس مضلعات القاعدة.