أنواع خاصة من المصفوفات. مصفوفة التصنيف

في هذا الموضوع ، سننظر في مفهوم المصفوفة ، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع ، سأضيف ملخصلتسهيل التنقل في المواد.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةهو جدول به $ m $ rows و $ n $ عمود. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة متنوعة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو ، على سبيل المثال ، مصفوفات أخرى. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ بها 3 صفوف وعمودين ؛ عناصرها أعداد صحيحة. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) a & a ^ 9 + 2 & 9 & \ sin x \\ -9 & 3t ^ 2-4 & u-t & 8 \ end (array) \ right) $ يحتوي على صفين و 4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار \ إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط بين قوسين دائريين ، ولكن أيضًا في أقواس مستقيمة مربعة أو مزدوجة. يوجد أدناه نفس المصفوفة بترميز مختلف:

$$ \ يسار (\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right)؛ \؛ \؛ \ يسار [\ start (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right] ؛ \ ؛ \ ؛ \ يسار \ Vert \ start (مجموعة) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \ 8 & 0 \ end (array) \ right \ Vert $$

المنتج $ m \ مرات n $ يسمى حجم المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و 3 أعمدة ، فحينئذٍ يتحدث المرء عن مصفوفة 5 دولارات \ مرات 3 دولارات. المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 3 \ times 2 $.

عادةً ما يُرمز إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $ A $ ، $ B $ ، $ C $ ، وهكذا. على سبيل المثال ، $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $. ينتقل ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل ؛ أعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال ، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $ B $ على العنصرين 5 و 3 ، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3 ، -87 ، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال ، عناصر المصفوفة $ A $ يُرمز لها ب $ a_ (ij) $. يحتوي الفهرس المزدوج $ ij $ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $ i $ هو رقم الصف ، والرقم $ j $ هو رقم العمود الذي يوجد عند تقاطع العنصر $ a_ (ij) $. على سبيل المثال ، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \ end (array) \ right) $ element $ أ_ (25) = 59 دولارًا:

وبالمثل ، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول ، لدينا العنصر $ a_ (11) = 51 $ ؛ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $ a_ (32) = - 15 $ وهكذا. لاحظ أن $ a_ (32) $ يُقرأ على أنه "a three two" لكن ليس "a two و 30".

للتسمية المختصرة للمصفوفة $ A $ ، حجمها يساوي $ m \ مرات n $ ، يتم استخدام الترميز $ A_ (m \ times n) $. غالبًا ما يتم استخدام الترميز التالي:

$$ A_ (م \ مرات (ن)) = (أ_ (ij)) $$

هنا $ (a_ (ij)) $ يشير إلى تعيين عناصر المصفوفة $ A $ ، أي تقول أن عناصر المصفوفة $ A $ يُرمز لها بـ $ a_ (ij) $. في الشكل الموسع ، يمكن كتابة المصفوفة $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ على النحو التالي:

$$ A_ (m \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (m1) & a_ (m2) & \ ldots & a_ (mn) \ end (array) \ right) $$

لنقدم مصطلحًا آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $ A_ (m \ times n) = (a_ (ij)) $ و $ B_ (m \ times n) = (b_ (ij)) $ متساويإذا كانت العناصر المقابلة لها متساوية ، أي $ a_ (ij) = b_ (ij) $ للجميع $ i = \ overline (1، m) $ و $ j = \ overline (1، n) $.

شرح الإدخال $ i = \ overline (1، m) $: إظهار \ إخفاء

الإدخال "$ i = \ overline (1، m) $" يعني أن المعامل $ i $ يتغير من 1 إلى m. على سبيل المثال ، يشير الإدخال $ i = \ overline (1،5) $ إلى أن المعلمة $ i $ تأخذ القيم 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5.

لذلك ، من أجل مساواة المصفوفات ، يلزم شرطين: تطابق الأحجام وتساوي العناصر المقابلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لا تساوي المصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ 0 & -87 \ end (array) \ right) $ لأن المصفوفة $ A $ هي $ 3 \ times 2 $ والمصفوفة $ B $ هي 2 دولار \ مرة 2 دولار. أيضًا المصفوفة $ A $ لا تساوي المصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 98 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ لأن $ a_ (21) \ neq c_ (21) $ (أي $ 0 \ neq 98 $). ولكن بالنسبة للمصفوفة $ F = \ left (\ begin (array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \ end (array) \ right) $ ، يمكننا كتابة $ A بأمان = F $ لأن كلا من الحجم والعناصر المقابلة للمصفوفتين $ A $ و $ F $ يتطابقان.

مثال 1

حدد حجم المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \ \ نهاية (مصفوفة) \ يمين) $. حدد العناصر $ a_ (12) $، $ a_ (33) $، $ a_ (43) $ التي تساويها.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و 3 أعمدة ، لذا فإن حجمها 5 دولارات \ مرة 3 دولارات. يمكن أيضًا استخدام الترميز $ A_ (5 \ times 3) $ لهذه المصفوفة.

يقع العنصر $ a_ (12) $ عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني ، لذا $ a_ (12) = - 2 $. يقع العنصر $ a_ (33) $ عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث ، لذا $ a_ (33) = 23 $. يقع العنصر $ a_ (43) $ عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث ، لذا فإن $ a_ (43) = - 5 $.

إجابة: $ a_ (12) = - 2 $، $ a_ (33) = 23 $، $ a_ (43) = - 5 $.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والجانبية. تتبع المصفوفة.

دعنا نعطي مصفوفة $ A_ (m \ times n) $. إذا كان $ m = 1 $ (تتكون المصفوفة من صف واحد) ، فسيتم استدعاء المصفوفة المعطاة صف المصفوفة. إذا كان $ n = 1 $ (تتكون المصفوفة من عمود واحد) ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة العمود. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \ end (array) \ right) $ مصفوفة صف ، و $ \ left (\ begin (array) ) (ج) -1 \\ 5 \\ 6 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة العمود.

إذا كان الشرط $ m \ neq n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة) ، فيقال غالبًا أن $ A $ هي مصفوفة مستطيلة. على سبيل المثال ، المصفوفة $ \ left (\ begin (array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \ end (array) \ right) $ لها حجم $ 2 \ times 4 $ ، هؤلاء. يحتوي على صفين و 4 أعمدة. نظرًا لأن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة ، فإن هذه المصفوفة مستطيلة.

إذا كان الشرط $ m = n $ صحيحًا للمصفوفة $ A_ (m \ times n) $ (على سبيل المثال ، عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة) ، عندئذٍ يُقال إن $ A $ مصفوفة مربعة من طلب $ n $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية ؛ $ \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. في نظرة عامةالمصفوفة المربعة $ A_ (n \ times n) $ يمكن كتابتها على النحو التالي:

$$ A_ (n \ times n) = \ left (\ start (array) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \ end (array) \ right) $$

العناصر $ a_ (11) $، $ a_ (22) $، $ \ ldots $، $ a_ (nn) $ يقال إنها في قطري رئيسيالمصفوفات $ A_ (n \ times n) $. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $ a_ (1n) $، $ a_ (2 \؛ n-1) $، $ \ ldots $، $ a_ (n1) $ تعمل الجانب (الثانوي) قطري؛ يطلق عليهم عناصر قطرية ثانوية. على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6 \ end ( صفيف) حق) $ لدينا:

العناصر $ c_ (11) = 2 $ ، $ c_ (22) = 9 $ ، $ c_ (33) = 4 $ ، $ c_ (44) = 6 $ هي العناصر القطرية الرئيسية ؛ العناصر $ c_ (14) = 1 $ ، $ c_ (23) = 8 $ ، $ c_ (32) = 0 $ ، $ c_ (41) = - 4 $ عناصر قطرية ثانوية.

يتم استدعاء مجموع العناصر القطرية الرئيسية متبوعة بمصفوفةويشار إليها بـ $ \ Tr A $ (أو $ \ Sp A $):

$$ \ Tr A = a_ (11) + a_ (22) + \ ldots + a_ (nn) $$

على سبيل المثال ، بالنسبة للمصفوفة $ C = \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 5 & 9 & 8 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & -7 \\ - 4 & -9 & 5 & 6 \ end (array) \ right) $ لدينا:

$$ \ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $$

يستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال ، للمصفوفة $ B = \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \ end (array) \ right) $ ستكون العناصر القطرية الرئيسية $ b_ (11) = 2 $ ، $ b_ (22) = - 9 $ ، $ b_ (33) = 4 $.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $ A_ (m \ times n) $ تساوي الصفر ، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادة ما يشار إليه بالحرف $ O $. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end (array) \ right) $ ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $ هي مصفوفات صفرية.

ضع في اعتبارك بعض الصفوف غير الصفرية من المصفوفة $ A $ ، أي سلسلة تحتوي على عنصر واحد على الأقل غير صفري. العنصر الرائدمن سلسلة غير صفرية ، دعنا نسميها العنصر الأول (العد من اليسار إلى اليمين) غير الصفري. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة التالية:

$$ W = \ left (\ start (array) (cccc) 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & -9 & 5 & 9 \ end (array) \ right) $ $

في السطر الثاني ، سيكون العنصر الرابع في المقدمة ، أي $ w_ (24) = 12 دولارًا ، وفي السطر الثالث سيكون العنصر الأول هو العنصر الثاني ، أي $ w_ (32) = - 9 دولارات.

المصفوفة $ A_ (m \ times n) = \ left (a_ (ij) \ right) $ تسمى صعدتإذا استوفت شرطين:

توجد صفوف خالية ، إن وجدت ، أسفل جميع الصفوف غير الفارغة.
تشكل أعداد العناصر الرئيسية للسلاسل غير الصفرية تسلسلًا متزايدًا بشكل صارم ، أي إذا كانت $ a_ (1k_1) $، $ a_ (2k_2) $، ...، $ a_ (rk_r) $ عناصر أولية لصفوف غير صفرية من المصفوفة $ A $ ، ثم $ k_1 \ lt (k_2) \ lt \ ldots \ لتر (k_r) $.

أمثلة على مصفوفات الخطوة:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) ؛ \ ؛ \ يسار (\ start (مجموعة) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \ 0 & 4 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -10 \ end (مجموعة) \ يمين). $$

للمقارنة: مصفوفة $ Q = \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & 10 & 6 \ end (array) \ right) $ ليس مصفوفة خطوة ، حيث تم انتهاك الشرط الثاني في تعريف مصفوفة الخطوة. العناصر البادئة في السطر الثاني والثالث $ q_ (24) = 7 $ و $ q_ (32) = 10 $ مرقمة $ k_2 = 4 $ و $ k_3 = 2 $. بالنسبة لمصفوفة الخطوة ، يجب استيفاء الشرط $ k_2 \ lt (k_3) $ ، وهو ما يتم انتهاكه في هذه الحالة. ألاحظ أنه إذا قمنا بتبديل الصفين الثاني والثالث ، فسنحصل على مصفوفة متدرجة: $ \ left (\ begin (array) (ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 9 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

تسمى مصفوفة الخطوة شبه منحرفأو شبه منحرف، إذا كانت العناصر الأولية $ a_ (1k_1) $، $ a_ (2k_2) $، ...، $ a_ (rk_r) $ تفي بالشروط $ k_1 = 1 $، $ k_2 = 2 $، ...، $ k_r = r $ ، أي العناصر القطرية تقود. بشكل عام ، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

$$ A_ (m \ times (n)) = \ left (\ start (array) (cccccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1r) & \ ldots & a_ (1n) \\ 0 & a_ (22) & \ ldots & a_ (2r) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ (rr) & \ ldots & a_ (rn) \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & \ ldots & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $$

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) ؛ \ ؛ \ left (\ start (array) (cccc) 5 & -2 & 2 & -8 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -10 \ end (array) \ right). $$

دعونا نعطي المزيد من التعريفات للمصفوفات المربعة. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة عليا. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون صفراً ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضاً مصفوفة مثلثة عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا ، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثة سفلية. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 & 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $ - مصفوفة مثلثة سفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يقول أي شيء عن قيم العناصر الموجودة أدناه أو على القطر الرئيسي. قد تكون أو لا تكون فارغة ، لا يهم. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \ end (array) \ right) $ و $ \ left (\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $ هي أيضًا مصفوفات مثلثة أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة غير الموجودة على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $ \ left (\ begin (array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ نهاية (صفيف) \ يمين) $. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (تساوي صفرًا أو لا) - وهذا ليس ضروريًا.

تسمى المصفوفة القطرية أعزبإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال ، $ \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) $ - مصفوفة هوية الرتبة الرابعة ؛ $ \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) \ right) $ هي مصفوفة هوية الرتبة الثانية.

لاحظ أن عناصر المصفوفة لا يمكن أن تكون أرقامًا فقط. تخيل أنك تصف الكتب الموجودة على رف كتبك. دع الرف الخاص بك يكون بالترتيب وجميع الكتب تقف في أماكن محددة بدقة. الجدول الذي سيحتوي على وصف مكتبتك (وفقًا للأرفف وتسلسل الكتب على الرف) سيكون أيضًا مصفوفة. لكن مثل هذه المصفوفة لن تكون رقمية. مثال آخر. بدلاً من الأرقام ، هناك وظائف مختلفة ، متحدة فيما بينها ببعض التبعية. الجدول الناتج سيطلق عليه أيضًا مصفوفة. بمعنى آخر ، المصفوفة هي أي طاولة مستطيلة مكونة من متجانسعناصر. هنا وأدناه سنتحدث عن مصفوفات مكونة من أرقام.

بدلاً من الأقواس ، تتم كتابة المصفوفات باستخدام الأقواس المربعة أو الخطوط الرأسية المزدوجة المستقيمة.

(2.1*)

التعريف 2. إذا كان في التعبير(1) م = ن ، ثم يتحدثون عنه مصفوفة مربعة, و إذا , شيئا عن مستطيلي.

اعتمادًا على قيم m و n ، توجد بعض الأنواع الخاصة من المصفوفات:

أهم ما يميزه مربعالمصفوفة لها محددأو محدد، والتي تتكون من عناصر مصفوفة ويشار إليها

من الواضح أن D E = 1 ؛ .

التعريف 3. لو , ثم المصفوفةأ مُسَمًّى غير منحط أو غير خاص.

التعريف 4. لو detA = 0 ، ثم المصفوفةأ مُسَمًّى تتدهور أو خاص.

التعريف 5. مصفوفتانأ وب مُسَمًّى متساوي واكتبأ = ب إذا كانت لها نفس الأبعاد والعناصر المقابلة لها متساوية ، أي.

على سبيل المثال ، المصفوفات ومتساوية ، لأن إنهما متساويان في الحجم وكل عنصر في مصفوفة واحدة يساوي العنصر المقابل في المصفوفة الأخرى. لكن لا يمكن اعتبار المصفوفات متساوية ، على الرغم من أن محددات كلتا المصفوفتين متساوية ، وأبعاد المصفوفات هي نفسها ، ولكن ليست كل العناصر في نفس الأماكن متساوية. المصفوفات مختلفة لأن أحجامها مختلفة. المصفوفة الأولى 2x3 والثانية 3x2. على الرغم من أن عدد العناصر هو نفسه - 6 والعناصر نفسها هي نفسها 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، لكنها في أماكن مختلفة في كل مصفوفة. لكن المصفوفات ومتساوية حسب التعريف 5.

التعريف 6. إذا أصلحنا عددًا معينًا من أعمدة المصفوفةأ ونفس عدد صفوفه ، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة تشكل مصفوفة مربعةن- الترتيب عشر ، المحدد الذي مُسَمًّى صغيرك- مصفوفة الترتيبأ.

مثال. اكتب ثلاثة أصغر من الدرجة الثانية من المصفوفة

التذكرة 17:

السؤال 1: تعريف القطع المكافئ. اشتقاق المعادلة:

تعريف. القطع المكافئ هو مجموعة من النقاط في المستوى ، كل منها على نفس المسافة من نقطة معينة ، تسمى البؤرة ، ومن خط مستقيم معين يسمى الدليل ولا يمر عبر البؤرة.

دعونا نضع أصل الإحداثيات في المنتصف بين التركيز والدليل.

تسمى القيمة p (المسافة من التركيز إلى الدليل) معلمة القطع المكافئ. نشتق المعادلة الأساسية للقطع المكافئ.

من العلاقات الهندسية: AM = MF ؛ AM = x + p / 2 ؛

MF2 = y2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y2 + (x - p / 2) 2

x2 + xp + p2 / 4 = y2 + x2 - xp + p2 / 4

معادلة الدليل: x = -p / 2.

السؤال 2: نظرية كوشي:

النظرية: دع الدوال تكون قابلة للتفاضل على الفاصل ومتواصلة من أجل ، وعلاوة على ذلك ، للجميع. ثم هناك نقطة في الفاصل مثل ذلك

المعنى الهندسي : تتكون هذه النظريات من حقيقة أنه يوجد بالداخل نقطة t 0 ، يتم حساب منحدراتها بالتساوي:

دليل. دعونا أولا نثبت ذلك ، أي أن الكسر الموجود على الجانب الأيسر من الصيغة منطقي. في الواقع ، لهذا الاختلاف ، يمكننا كتابة صيغة الزيادات المحدودة:

في بعض. لكن في الجانب الأيمن من هذه الصيغة ، كلا العاملين ليسوا صفريًا.

لإثبات النظرية ، نقدم وظيفة مساعدة

من الواضح أن الوظيفة قابلة للتفاضل للجميع ومستمرة عند النقاط ، وبما أن الوظائف لها هذه الخصائص. علاوة على ذلك ، من الواضح أن ، نحصل عليه. دعنا نظهر ذلك و:

ومن ثم ، فإن الوظيفة تفي بشروط نظرية رول في الفترة. لذلك ، هناك نقطة من هذا القبيل.

نحسب الآن مشتق الدالة:

لقد حصلنا على ذلك

من أين نحصل على تأكيد النظرية:

تعليق: يمكننا النظر في وظائف وإحداثيات نقطة تتحرك على مستوى ، والتي تصف خطًا يربط نقطة البداية بنقطة النهاية.

الشكل 5.6: الوتر موازٍ لبعض مماس المنحنى

النسبة ، كما يسهل رؤيتها من الرسم ، ثم تحدد منحدر الوتر الذي يربط بين النقاط و. في الوقت نفسه ، وفقًا لصيغة مشتق الدالة المعطاة حدوديًا ، لدينا: . إذن ، الكسر هو ميل مماس الخط عند نقطة ما . وبالتالي ، فإن بيان النظرية يعني ، من وجهة نظر هندسية ، أن هناك نقطة على الخط بحيث يكون المماس المرسوم عند هذه النقطة موازيًا للوتر الذي يربط بين النقاط القصوى للخط. لكن هذا هو نفس البيان الذي شكل المعنى الهندسي لنظرية لاغرانج. فقط في نظرية لاغرانج ، تم إعطاء الخط من خلال تبعية صريحة ، وفي نظرية كوشي من خلال الاعتماد المعطى في شكل حدودي.

التذكرة 18:

السؤال 1: مفهوم المصفوفة. تصنيف المصفوفة:

تعريف. مصفوفة بحجم mn ، حيث m هو عدد الصفوف ، n هو عدد الأعمدة ، جدول أرقام مرتبة بترتيب معين. تسمى هذه الأرقام عناصر المصفوفة. يتم تحديد مكان كل عنصر بشكل فريد من خلال رقم الصف والعمود عند التقاطع الذي يقع فيه. يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفة بواسطة aij ، حيث يمثل i رقم الصف و j رقم العمود. أ =

تصنيف المصفوفة:.

يمكن أن تحتوي المصفوفة على صف واحد أو عمود واحد. بشكل عام ، يمكن أن تتكون المصفوفة من عنصر واحد.

تعريف . إذا كان عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد الصفوف (م = ن) ، فإن المصفوفة تسمى مربع.

تعريف . عرض المصفوفة: = E تسمى مصفوفة الهوية.

تعريف. إذا كان amn = anm ، فإن المصفوفة تسمى متماثل. مثال. - مصفوفة متماثلة

تعريف . مصفوفة عرض مربع مُسَمًّى مصفوفة قطرية .

السؤال الثاني: نظرية لاغرانج:

النظرية: دع الدالة تكون قابلة للتفاضل على الفاصل الزمني ومستمرة عند النقاط و. ثم هناك نقطة من هذا القبيل

المعنى الهندسي: دعونا أولاً نعطي توضيحًا هندسيًا للنظرية. قم بتوصيل نقاط نهاية الرسم البياني على المقطع بتردد. الزيادات المحدودة و هي أطوال أرجل المثلث ، ووترها الوتر المرسوم.

الشكل 5. 5 الظل عند نقطة ما موازٍ للوتر

نسبة الزيادات النهائية وظل المنحدر من الوتر. تنص النظرية على أنه يمكن رسم الظل على الرسم البياني لدالة قابلة للتفاضل في نقطة ما ، والتي ستكون موازية للوتر ، أي أن ميل الظل () سيكون يساوي الزاويةمنحدر وتر (). لكن وجود مثل هذا الظل واضح هندسيًا.

لاحظ أن الوتر المرسوم الذي يربط بين النقاط وهو الرسم البياني للدالة الخطية. بما أن ميل هذه الدالة الخطية يساوي بوضوح ، الذي - التي

دليل على نظرية لاغرانج. نحن نختزل الإثبات لتطبيق نظرية رول. للقيام بذلك ، نقدم وظيفة مساعدة ، وهي ،

لاحظ أن و (ببناء الوظيفة). نظرًا لأن الوظيفة الخطية قابلة للتفاضل للجميع ، فإن الوظيفة تفي بكل الخصائص المدرجة في حالة نظرية رول. لذلك ، هناك مثل هذه النقطة أن ورقة الغش بواسطةالفلسفة: أجوبة تذكرة الامتحان ورقة الغش >> الفلسفة

سرير بواسطةالفلسفات: أجوبة أوراق الامتحانات .. الرسم والنحت والعمارة والعمل بواسطة الرياضيات، علم الأحياء ، الجيولوجيا ، التشريح مكرس للإنسان ... الانضباط الذاتي ، توجه نفسك إليه أعلىالأهداف. الأفكار الرئيسية للشرقية القديمة ...

سرير بواسطةالمنطق: إجابات على تذاكر الامتحان

ورقة الغش >> الفلسفة

فاليري فيكانوف سرير بواسطةالمنطق فلاديمير إدواردوفيتش فيكانوف سرير بواسطةالمنطق: ... التفكير البشري. علم وظائف الأعضاء أعلىيكشف النشاط العصبي بشكل طبيعي ... تستخدم الوظيفة المقترحة على نطاق واسع في الرياضيات. كل المعادلات مع واحد ...

سرير بواسطةالاقتصاد القياسي (1)

ورقة الغش >> الاقتصاد

إحصائيات؛ إحصاءات اقتصادية؛ أعلى الرياضيات. وسائل. المساهمة في التنمية ... بواسطةدرجة الشد بواسطةالاتجاه و بواسطةالمحاذاة التحليلية. بواسطة... التغيير في اتجاهين متعاكسين. بواسطةالمحاذاة التحليلية: - العلاقات الخطية ...

المصفوفة هي كائن خاص في الرياضيات. تم تصويره على شكل جدول مستطيل أو مربع ، يتكون من عدد معين من الصفوف والأعمدة. في الرياضيات ، هناك مجموعة متنوعة من أنواع المصفوفات ، تختلف في الحجم أو المحتوى. تسمى أرقام صفوفها وأعمدتها بالأوامر. تستخدم هذه الأشياء في الرياضيات لتنظيم كتابة الأنظمة المعادلات الخطيةوالبحث السهل عن نتائجها. يتم حل المعادلات باستخدام مصفوفة باستخدام طريقة Carl Gauss و Gabriel Cramer والإضافات الصغرى والإضافات الجبرية والعديد من الطرق الأخرى. المهارة الأساسية عند العمل مع المصفوفات هي الاختزال إلى ومع ذلك ، أولاً ، دعنا نتعرف على أنواع المصفوفات التي يميزها علماء الرياضيات.

نوع الصفر

جميع مكونات هذا النوع من المصفوفات هي أصفار. وفي الوقت نفسه ، يختلف عدد صفوفه وأعمدته تمامًا.

نوع مربع

عدد الأعمدة والصفوف لهذا النوع من المصفوفات هو نفسه. بمعنى آخر ، إنه جدول شكل "مربع". يسمى عدد أعمدته (أو صفوفه) بالترتيب. الحالات الخاصة هي وجود مصفوفة من الرتبة الثانية (مصفوفة 2x2) ، المرتبة الرابعة (4x4) ، العاشر (10x10) ، السابع عشر (17x17) وهكذا.

ناقلات العمود

هذا هو أحد أبسط أنواع المصفوفات ، ويحتوي على عمود واحد فقط ، والذي يتضمن ثلاث قيم عددية. يمثل عددًا من المصطلحات المجانية (أرقام مستقلة عن المتغيرات) في أنظمة المعادلات الخطية.

عرض مشابه للسابق. يتكون من ثلاثة عناصر عددية مرتبة في سطر واحد.

نوع قطري

تأخذ القيم العددية في الشكل القطري للمصفوفة مكونات القطر الرئيسي فقط (مظلل بالأخضر). يبدأ القطر الرئيسي من العنصر الموجود في الزاوية اليسرى العليا ، وينتهي بالعنصر الموجود في الزاوية اليمنى السفلية ، على التوالي. باقي المكونات صفر. النوع القطري ما هو إلا مصفوفة مربعة من نوع ما. من بين المصفوفات ذات الشكل القطري ، يمكن للمرء أن يميز مصفوفة عددية. جميع مكوناته تأخذ نفس القيم.

نوع فرعي من المصفوفة القطرية. جميع قيمها العددية عبارة عن وحدات. باستخدام نوع واحد من جداول المصفوفة ، يتم إجراء تحويلاته الأساسية أو العثور على مصفوفة معكوسة للجدول الأصلي.

النوع الكنسي

يعتبر الشكل الأساسي للمصفوفة أحد الأشكال الرئيسية ؛ غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى صبها للعمل. يختلف عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة الأساسية ، ولا ينتمي بالضرورة إلى النوع المربع. إنها تشبه إلى حد ما مصفوفة الهوية ، ومع ذلك ، في حالتها ، لا تأخذ جميع مكونات القطر الرئيسي قيمة مساوية للواحد. يمكن أن يكون هناك وحدتان أو أربع وحدات قطرية رئيسية (كل هذا يتوقف على طول وعرض المصفوفة). أو قد لا توجد وحدات على الإطلاق (عندئذٍ تعتبر صفرًا). المكونات المتبقية من النوع الأساسي ، وكذلك عناصر النوع القطري والوحدة ، تساوي الصفر.

نوع الثلاثي

من أهم أنواع المصفوفة المستخدمة عند البحث عن محددها وعند إجراء عمليات بسيطة. يأتي النوع المثلثي من النوع القطري ، لذا فإن المصفوفة مربعة أيضًا. المنظر المثلثي للمصفوفة مقسم إلى مثلث علوي ومثلث سفلي.

في المصفوفة المثلثية العليا (الشكل 1) ، فقط العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي تأخذ قيمة مساوية للصفر. تحتوي مكونات القطر نفسه وجزء المصفوفة أسفله على قيم عددية.

في المصفوفة المثلثية السفلية (الشكل 2) ، على العكس من ذلك ، فإن العناصر الموجودة في الجزء السفلي من المصفوفة تساوي الصفر.

النموذج ضروري لإيجاد رتبة المصفوفة ، وكذلك للعمليات الأولية عليها (جنبًا إلى جنب مع النوع المثلث). سميت مصفوفة الخطوة بهذا الاسم لأنها تحتوي على "خطوات" مميزة من الأصفار (كما هو موضح في الشكل). في النوع المتدرج ، يتم تكوين قطري من الأصفار (وليس بالضرورة العنصر الرئيسي) ، وجميع العناصر الموجودة تحت هذا القطر لها أيضًا قيم تساوي الصفر. الشرط الأساسي هو ما يلي: إذا كان هناك صف صفري في مصفوفة الخطوة ، فإن الصفوف المتبقية أدناه لا تحتوي أيضًا على قيم رقمية.

وبالتالي ، فقد درسنا أهم أنواع المصفوفات اللازمة للعمل معهم. الآن دعونا نتعامل مع مهمة تحويل مصفوفة إلى الشكل المطلوب.

التخفيض إلى شكل مثلثي

كيف نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث؟ في أغلب الأحيان ، في التخصيصات ، تحتاج إلى تحويل مصفوفة إلى شكل مثلث من أجل إيجاد محددها ، أو ما يسمى بالمحدد. عند تنفيذ هذا الإجراء ، من المهم للغاية "الحفاظ على" القطر الرئيسي للمصفوفة ، لأن محدد المصفوفة المثلثية هو بالضبط حاصل ضرب مكونات قطرها الرئيسي. اسمحوا لي أيضًا أن أذكرك بالطرق البديلة للعثور على المحدد. تم إيجاد المحدد من النوع المربع باستخدام معادلات خاصة. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام طريقة المثلث. بالنسبة للمصفوفات الأخرى ، يتم استخدام طريقة التحليل حسب الصف أو العمود أو عناصرها. يمكنك أيضًا تطبيق طريقة القاصرين والمكملات الجبرية للمصفوفة.

دعونا نحلل بالتفصيل عملية إحضار مصفوفة إلى شكل مثلث باستخدام أمثلة لبعض المهام.

التمرين 1

من الضروري إيجاد محدد المصفوفة المقدمة ، باستخدام طريقة إحضارها إلى شكل مثلث.

المصفوفة المعطاة لنا هي مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة. لذلك ، لتحويله إلى شكل مثلث ، نحتاج إلى إزالة مكونين من العمود الأول ومكون واحد من الثاني.

لتحويله إلى شكل مثلث ، نبدأ التحويل من الزاوية اليسرى السفلية للمصفوفة - من الرقم 6. لتحويله إلى صفر ، نضرب الصف الأول في ثلاثة ونطرحه من الصف الأخير.

مهم! السطر العلوي لا يتغير ، لكنه يظل كما هو في المصفوفة الأصلية. لا تحتاج إلى كتابة سلسلة أربع مرات السلسلة الأصلية. لكن قيم الصفوف التي يجب ضبط مكوناتها على الصفر تتغير باستمرار.

تبقى القيمة الأخيرة فقط - عنصر الصف الثالث من العمود الثاني. هذا هو الرقم (-1). لتحويله إلى صفر ، اطرح الثاني من الصف الأول.

دعونا تحقق:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

ومن هنا جاءت الإجابة على المهمة: -22.

المهمة 2

من الضروري إيجاد محدد المصفوفة بإحضارها إلى شكل مثلث.

تنتمي المصفوفة المقدمة إلى النوع المربع وهي مصفوفة من الدرجة الرابعة. هذا يعني أنه من الضروري اختفاء ثلاثة مكونات من العمود الأول ، ومكونين من العمود الثاني ، ومكون واحد من المكون الثالث.

لنبدأ في نقله من العنصر الموجود في الزاوية اليسرى السفلية - من الرقم 4. نحتاج إلى تحويل هذا الرقم إلى صفر. أسهل طريقة للقيام بذلك هي ضرب الصف العلوي في أربعة ثم طرحه من الصف الرابع. دعونا نكتب نتيجة المرحلة الأولى من التحول.

لذا ، فإن مكون الصف الرابع مضبوط على الصفر. دعنا ننتقل إلى العنصر الأول من السطر الثالث ، إلى الرقم 3. نقوم بإجراء عملية مماثلة. اضرب في ثلاثة في الصف الأول ، واطرحه من الصف الثالث واكتب النتيجة.

تمكنا من ضبط جميع مكونات العمود الأول من هذه المصفوفة المربعة على الصفر ، باستثناء الرقم 1 ، وهو عنصر قطري رئيسي لا يتطلب تحويلاً. من المهم الآن الاحتفاظ بالأصفار الناتجة ، لذلك سنقوم بإجراء تحويلات باستخدام الصفوف وليس الأعمدة. دعنا ننتقل إلى العمود الثاني من المصفوفة المقدمة.

لنبدأ من الأسفل مرة أخرى - من عنصر العمود الثاني للصف الأخير. هذا هو الرقم (-7). ومع ذلك ، في هذه الحالة ، من الأنسب البدء بالرقم (-1) - عنصر العمود الثاني من الصف الثالث. لتحويله إلى صفر ، اطرح الصف الثاني من الصف الثالث. ثم نضرب الصف الثاني في سبعة ونطرحه من الرابع. حصلنا على صفر بدلاً من العنصر الموجود في الصف الرابع من العمود الثاني. الآن دعنا ننتقل إلى العمود الثالث.

في هذا العمود ، نحتاج إلى التحول إلى الصفر رقم واحد فقط - 4. من السهل القيام بذلك: فقط أضف الثالث إلى السطر الأخير وانظر إلى الصفر الذي نحتاجه.

بعد كل التحولات ، قمنا بإحضار المصفوفة المقترحة إلى شكل مثلث. الآن ، للعثور على محدده ، ما عليك سوى ضرب العناصر الناتجة للقطر الرئيسي. نحن نحصل: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.إذن ، الحل هو الرقم 160.

لذا ، فإن مسألة إحضار المصفوفة إلى شكل مثلث لن تجعل الأمر صعبًا عليك الآن.

تخفيض إلى شكل صعد

بالنسبة للعمليات الأولية على المصفوفات ، يكون النموذج المتدرج أقل "مطلوبًا" من النموذج المثلث. هو الأكثر شيوعًا للعثور على رتبة المصفوفة (أي عدد صفوفها غير الصفرية) أو لتحديد الصفوف المستقلة والمستقلة خطيًا. ومع ذلك ، فإن العرض المتدرج للمصفوفة يكون أكثر تنوعًا ، حيث إنه مناسب ليس فقط للنوع المربع ، ولكن لأي شخص آخر.

لتقليل مصفوفة إلى شكل متدرج ، عليك أولاً إيجاد محددها. لهذا ، فإن الطرق المذكورة أعلاه مناسبة. الغرض من إيجاد المحدد هو معرفة ما إذا كان يمكن تحويله إلى مصفوفة خطوة. إذا كان المحدد أكبر أو أقل من الصفر ، فيمكنك المتابعة بأمان إلى المهمة. إذا كانت تساوي صفرًا ، فلن تعمل على تقليل المصفوفة إلى شكل متدرج. في هذه الحالة ، تحتاج إلى التحقق مما إذا كانت هناك أية أخطاء في السجل أو في تحويلات المصفوفة. إذا لم تكن هناك مثل هذه الأخطاء ، فلا يمكن حل المهمة.

دعنا نفكر في كيفية إحضار المصفوفة إلى نموذج متدرج باستخدام أمثلة للعديد من المهام.

التمرين 1.أوجد رتبة جدول المصفوفة المعطى.

أمامنا مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة (3x3). نحن نعلم أنه من أجل إيجاد الرتبة ، من الضروري تصغيرها إلى شكل متدرج. إذن ، علينا أولًا إيجاد محدد المصفوفة. دعنا نستخدم طريقة المثلث: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

المحدد = 12. إنها أكبر من الصفر ، مما يعني أنه يمكن اختزال المصفوفة إلى شكل متدرج. لنبدأ في تحويله.

لنبدأ بعنصر العمود الأيسر للصف الثالث - الرقم 2. نضرب الصف العلوي في اثنين ونطرحه من الصف الثالث. بفضل هذه العملية ، تحول كل من العنصر الذي نحتاجه والرقم 4 - عنصر العمود الثاني من الصف الثالث - إلى صفر.

نرى أنه نتيجة الاختزال تشكلت مصفوفة مثلثة. في حالتنا هذه ، لا يمكن مواصلة التحويل ، حيث لا يمكن تحويل المكونات المتبقية إلى الصفر.

لذلك نستنتج أن عدد الصفوف التي تحتوي على قيم عددية في هذه المصفوفة (أو رتبتها) هو 3. الإجابة على المهمة: 3.

المهمة 2.حدد عدد الصفوف المستقلة خطيًا للمصفوفة المعطاة.

نحتاج إلى إيجاد مثل هذه السلاسل التي لا يمكن تحويلها إلى صفر بأي تحويلات. في الواقع ، علينا إيجاد عدد الصفوف غير الصفرية ، أو رتبة المصفوفة الممثلة. للقيام بذلك ، دعونا نبسطه.

نرى مصفوفة لا تنتمي إلى النوع المربع. لها أبعاد 3x4. لنبدأ التمثيل أيضًا من عنصر الزاوية اليسرى السفلية - الرقم (-1).

مزيد من التحولات غير ممكنة. لذلك ، نستنتج أن عدد الخطوط المستقلة خطيًا فيه والإجابة على المهمة هي 3.

الآن إحضار المصفوفة إلى نموذج متدرج ليس بالمهمة المستحيلة بالنسبة لك.

في أمثلة هذه المهام ، قمنا بتحليل اختزال المصفوفة إلى شكل مثلث وشكل متدرج. من أجل إبطال القيم المرغوبة لجداول المصفوفة ، يلزم في بعض الحالات إظهار الخيال وتحويل أعمدةها أو صفوفها بشكل صحيح. حظا سعيدا في الرياضيات والعمل مع المصفوفات!

على الرغم من أن الباحثين يشيرون عادةً إلى التصنيف كوسيلة للتنبؤ بفئة الكائنات "غير المعروفة" ، يمكننا أيضًا استخدامها لاختبار دقة إجراءات التصنيف. للقيام بذلك ، نأخذ الكائنات "المعروفة" (التي استخدمناها في اشتقاق وظائف التصنيف) ونطبق قواعد التصنيف عليها. تشير نسبة الكائنات المصنفة بشكل صحيح إلى دقة الإجراء وتؤكد بشكل غير مباشر درجة الفصل بين الفئات. يمكن وضع جدول أو "مصفوفة التصنيف" لوصف النتائج. سيساعدنا هذا في معرفة الأخطاء التي يتم ارتكابها في كثير من الأحيان.

الجدول 12. مصفوفة التصنيف

الجدول 12 عبارة عن مصفوفة تصنيف لبيانات التصويت في مجلس الشيوخ. تتنبأ متغيرات بارديس الستة بشكل صحيح بالتوزيع الفصائلي لجميع أعضاء مجلس الشيوخ (باستثناء كيبهارت) الذين "يُعرف" انتمائهم الفئوي. دقة التنبؤ في هذه الحالة هي 94.7٪ (مجموع التنبؤات الصحيحة هو 18 مقسومًا على العدد الإجمالي للأشياء "المعروفة"). نرى أيضًا أن الأخطاء في هذا المثال ترجع إلى ضعف الفصل بين المجموعتين 1 و 4. في الصف السفلي من الجدول. يوضح الشكل 12 التوزيع حسب مجموعات الكائنات "غير المعروفة". هؤلاء هم أعضاء مجلس الشيوخ الذين لم تتمكن بارديس من تحديد انتمائهم الحزبي من البيانات التي كانت لديها. كان هدفها الرئيسي هو استخدام التحليل التمييزي لتصنيف مواقف أعضاء مجلس الشيوخ بناءً على تصويتهم ، وبعد ذلك واصلت استكشاف موقف مجلس الشيوخ تجاه الخيارات المختلفة للمساعدات الخارجية.

النسبة المئوية للأشياء "المعروفة" التي تم تصنيفها بشكل صحيح هي مقياس إضافي للاختلافات بين المجموعات. سنستخدمها ، جنبًا إلى جنب مع الارتباطات العامة L-Statistic و Canonical ، للإشارة إلى مقدار المعلومات التمييزية الواردة في المتغيرات. كمقياس مباشر لدقة التنبؤ ، هذه النسبة المئوية هي أنسب مقياس للمعلومات التمييزية. ومع ذلك ، لا يمكن الحكم على قيمة النسبة المئوية إلا من خلال النسبة المئوية المتوقعة للتصنيفات الصحيحة عندما تم التوزيع على الفئات بشكل عشوائي. إذا كان هناك فئتان ، فبالتصنيف العشوائي ، يمكن توقع تنبؤات صحيحة بنسبة 50٪. بالنسبة لأربع فئات ، تبلغ الدقة المتوقعة 25٪ فقط. إذا أعطى إجراء التصنيف لفئتين تنبؤات صحيحة بنسبة 60 ٪ ، فإن كفاءته منخفضة جدًا ، ولكن بالنسبة لأربع فئات ، تشير نفس النتيجة إلى كفاءة كبيرة ، لأن التصنيف العشوائي سيعطي فقط توقعات صحيحة بنسبة 25 ٪. يقودنا هذا إلى إحصاء الخطأ ، والذي سيكون مقياسًا موحدًا للأداء لأي عدد من الفئات:

أين هو عدد العناصر المصنفة بشكل صحيح ، وهو الاحتمال المسبق للانتماء إلى الفصل.

يمثل التعبير عدد الكائنات التي سيتم التنبؤ بها بشكل صحيح عن طريق تصنيفها عشوائيًا إلى فئات بما يتناسب مع الاحتمالات المسبقة. إذا تم اعتبار جميع الفئات متساوية ، فمن المفترض أن تكون الاحتمالات السابقة مساوية لواحد مقسومًا على عدد الفئات. القيمة القصوى للإحصاء هي 1 ويتم الوصول إليها في حالة التنبؤ الخالي من الأخطاء. تشير القيمة الصفرية إلى عدم كفاءة الإجراء ، - يمكن للإحصاءات أيضًا أن تأخذ قيمًا سالبة ، مما يشير إلى ضعف التمييز أو الحالة المتدهورة. نظرًا لأنه يجب أن يكون عددًا صحيحًا ، فقد يصبح البسط سالبًا بالصدفة البحتة ، عندما لا توجد فروق بين الفئات.