Виды связи техническая механика. Несвободные системы

Тела в природе бывают свободными и несвободными. Тела, свобода перемещения которых ничем не ограничена, называются свободными. Тела, ограничивающие свободу перемещения других тел, называются по отношению к ним связями .

Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Очень важно правильно расставить реакции связей, иначе написанные уравнения окажутся неверными. Ниже приведены примеры замены связей их реакциями. На рисунках 1.1–1.8 показаны примеры замены реакциями сил, расположенных в плоскости.

а – тело весом G на гладкой поверхности;
б – действие поверхности заменено реакцией – силой R;
в – в точке А связь «опорная точка» или ребро;
г – реакции направлены перпендикулярно
опираемой или опирающейся плоскостям

Рисунок 1.1

Реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности (рисунок 1.1). Реакция «невесомого» троса (нити, цепи, стержня) всегда направлена вдоль троса (нити, цепи, стержня) (рисунок 1.2).

Рисунок 1.6

На рисунке 1.7, а изображена бискользящая заделка. В плоскости данная опора допускает поступательное перемещение стержня как по горизонтали, так и по вертикали, но препятствует повороту (в плоскости). Реакцией такой опоры будет момент M C (рисунок 1.7, б).

Рисунок 1.7

Консоль (глухая или жесткая заделка) не допускает никакого перемещения детали. Реакцией такой опоры являются неизвестная по величине и направлению сила R A с углом α (или X A и Y A ) и момент Μ A (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

На рисунках 1.9 – 1.15 показаны примеры замены сил, расположенных в пространстве, их реакциями.

Шарнирно-неподвижная опора, или сферический шарнир (рисунок 1.9, а), заменена системой сил (рисунок 1.9, б) X A , Y A и Z A , т.е. силой, неизвестной по величине и направлению.

Всякое свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: оно может перемещаться вдоль трех осей и вращаться относительно этих осей. В свободном состоянии тела находятся редко, в большинстве случаев их перемещение ограничено связями. Связями называют ограничения, исключающие возможность движения тела в определенном направлении. Если па закрепленное тело действуют активные силы, то в связях возникают реактивные силы или реакции, дополняющие систему активных сил до равновесной. Совокупность активных и реактивных уравновешенных сил определяет напряженное состояние тела и его деформацию.

Реакции связей находят с помощью уравнений равновесия. При этом решение ведется по следующему плану:

выявляют внешние активные силы, приложенные к выделенному телу или группе тел;
выделенный объект (тело) освобождают от связей и вместо них прикладывают силы реакции связей;
выбрав координатные оси, составляют уравнения равновесия и, решив их, находят силы реакции связей.

Для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия (13.7). С помощью этих уравнений определяются шесть неизвестных реакций.

Задачи, решаемые только с помощью уравнений равновесия статики, называют статически определимыми. Если на выделенный объект будет наложено большее число связей, то задача становится статически неопределимой и для ее решения кроме уравнений равновесия необходимо использовать дополнительные уравнения, составляемые на основании анализа деформаций. В общем случае закрепление или соединение двух деталей может исключать от одной до шести степеней свободы, т.е. накладывать от одной до шести связей. В соответствии с этим в закреплении может возникнуть от одной до шести реакций. Количество реактивных сил и их направление зависят от характера связей.

Приведем наиболее распространенные типы закрепления и соединения деталей.

1. Соединения, исключающие возможность перемещения только в одном направлении. В таких соединениях возникает только одна реакция определенного направления. К соединениям этого типа относятся:
- а) соединение посредством касания двух тел в точке или по линии. При касании возникает реакция, направленная по общей нормали к поверхностям касания (рис. 13.5). Такое соединение называется шарнирно-подвижным;

Рис . 13.5.

б) соединение, осуществляемое тросом, нитыо, цепыо, дает реакцию, направленную вдоль гибкой связи, причем такая связь может работать только на растяжение (см. рис. 13.5, б );
в) соединение в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов также дает реакцию, направленную вдоль оси стержня (см. рис. 13.5, в) у но может работать как на растяжение, так и па сжатие.

Рис. 13.6.

На рис. 13.5, г показано тело с тремя наложенными на него связями; каждая связь исключает возможность движения в одном направлении и дает одну реакцию, направление которой известно.

2. Закрепление или соединение, исключающее перемещения по двум направлениям и соответственно дающее две реакции, носит название шарнирно-неподвижной опоры или цилиндрического шарнира (рис. 13.6).
3. Соединение, исключающее перемещения по трем направлениям и дающее три реакции, носит название пространственного или шарового шарнира (рис. 13.7).
4. Закрепление, исключающее все шесть степеней свободы, носит название жесткого закрепления или заделки. В заделке могут возникнуть шесть реактивных силовых факторов - три реактивные силы и три реактивных момента (рис. 13.8). При действии на тело с жесткой заделкой сил, расположенных в одной плоскости, в заделке возникают две реактивные силы и один реактивный момент.

Рис. 13.7.

Рис. 13.8.

При расчетах опоры схематизируют и условно делят на три основных группы:

шарнирно-подвижная (рис. 13.9, а), воспринимающая только одну линейную реакцию /?;
шарнирно-неподвижная (рис. 13.9, б), воспринимающая две линейные реакции R и Н.
защемление , или заделка (рис. 13.9, в ), воспринимающая линейные реакции R и Н и момент М.

Рис. 13.9.

При соприкосновении реальных тел и при их относительном движении в местах их контакта возникают силы трения, которые можно рассматривать как особый вид реактивных сил. Сила трения расположена в плоскости касания тел; при движении она направлена в сторону, противоположную относительной скорости тела.

Пример. Вал 1 с закрепленным на нем зубчатым колесом 2 установлен в двух подшипниках А и В. Па свободном конце вала насажен шкив ременной передачи 3 (рис. 13.10), Известны геометрические размеры а , с, передававшие крутящий момент М, диаметр шкива Д все параметры конического зубчатого колеса, а также соотношение сил натяжения ремня F a JF al = 2. Требуется определить реакции опор и силы натяжения ремня.

Рис. 13.10.

Решение проводим в три этана.

1. Выявляем активные силы, действующие в системе. Па коническое зубчатое колесо действует пространственно расположенная сила, составляющие которой по осям координат обозначены соответственно F v F r и F a . Составляющая F { , называемая окружной силой, определяется но заданному крутящему моменту на основании уравнения моментов относительно оси z

Радиальная составляющая F r и осевая составляющая F a определяются но окружной силе F ( на основании заданной геометрии зубчатого конического колеса.

2. Освобождаем вал (объект равновесия) от связей и вместо них прикладываем силы реакции Х л У л, Х в, Y B Z B .

Подшипники А и В следует рассматривать как шарнирные опоры, так как в них всегда имеются зазоры. В опоре А возникают две реакции Х л и У л, так как эта опора запрещает перемещение вала только в поперечных направлениях. В правой опоре возникают три реакции Х в, У в и Z B , так как она ограничивает перемещение вала также и в осевом направлении. Активные и реактивные силы в совокупности образуют пространственную систему уравновешенных сил.

3. Выбираем систему координат: оси х и у располагаем в плоскости, перпендикулярной оси вала, а ось z направляем по оси вала. Составляем шесть уравнений равновесия, используя (13.7) и (13.8).

Используя заданное условие F al = 2F ii2 и решив уравнения равновесия, найдем силы F aV F a2 и реакции опор

В процессе изучения статики, которая является одним из составляющих разделов механики, основная роль отводится аксиомам и базовым понятиям. При этом основных аксиом всего пять. Некоторые из них известны со школьных уроков физики, поскольку являются законами Ньютона.

Определение механики

Для начала необходимо упомянуть, что статика является подразделом механики. Последнюю следует описать подробнее, поскольку она напрямую связана со статикой. При этом механика - более общий термин, объединяющий в себе динамику, кинематику и статику. Все эти предметы изучались в школьном курсе физике и известны каждому. Даже входящие в изучение статики аксиомы базируются на известных со школьных лет Однако их было три, в то время как базовых аксиом статики - пять. Большая часть из них касается правил сохранения равновесия и прямолинейного равномерного перемещения определённого тела или материальной точки.

Механикой является наука о наиболее простом способе движения материи - механическом. Наиболее простыми движениями принято считать действия, сводимые к перемещению в пространстве и времени физического объекта из одного положения в другое.

Что изучает механика

В теоретической механике изучаются общие законы движения без учета индивидуальных свойств тела, кроме свойства протяжённости и гравитации (из этого следуют свойства частиц материи взаимно притягиваться либо иметь определенный вес).

В число базовых определений входит механическая сила. Данным термином называется движение, в механической форме передающееся от одного тела второму во время взаимодействия. По многочисленным наблюдениям было определено, что сила считается которая характеризуется направлением и точкой приложения.

По способу построения теоретическая механика схожа с геометрией: она так же базируется на определениях, аксиомах и теоремах. При этом на простых определениях связь не заканчивается. Большая часть рисунков, имеющих отношение к механике в целом и статике в частности, содержит геометрические правила и законы.

Теоретическая механика при этом включает три подраздела: статику, кинематику и динамику. В первой изучаются способы преобразования сил, приложенных к объекту и абсолютно твердому телу, а также условия возникновения равновесия. В кинематике рассматривается простое механическое движение, не учитывающее действующие силы. В динамике изучают движения точки, какой-либо системы или же твёрдого тела, учитывая действующие силы.

Аксиомы статики

Для начала следует рассмотреть основные понятия, аксиомы статики, виды связей и их реакции. Статикой именуется состояние равновесия с силами, которые прилагаются к абсолютно твердому телу. В ее задачи входят два основных пункта: 1 - основные понятия и аксиомы статики включают замену дополнительной системы сил, что были приложены к телу другой системой, эквивалентной ей. 2 - вывод общих правил, при которых тело под влиянием приложенных сил остаётся в покоящимся состояние либо в процессе равномерного поступательного прямолинейного движения.

Объекты в таких системах принято называть материальной точкой - телом, размеры которого в поставленных условиях можно опустить. Совокупность точек или тел, каким-либо образом взаимосвязанных между собой, именуют системой. Силы взаимного воздействия между этими телами зовутся внутренними, а силы, влияющие на данную систему - внешними.

Равнодействующей силой в определённой системе называется сила, эквивалентная приведённой системе сил. Входящие в состав этой системы зовутся составляющими силами. Уравновешивающая сила по своей величине равняется равнодействующей, но направляется в противоположном направлении.

В статике при решении вопроса о смене системы сил, влияющих на твердое тело, или о равновесии сил используют геометрические свойства векторов сил. Из этого становится понятным определение геометрической статики. Аналитическая статика, базирующаяся на принципе допустимых перемещений, будет описана в динамике.

Основные понятия и аксиомы статики

Условия нахождения тела в условиях равновесия выводятся из нескольких основных законов, используемых без дополнительных доказательств, но имеющих подтверждение в виде проведенных опытов, именуются аксиомами статики.

Аксиома I называется первым законом Ньютона (аксиома инерции). Каждое тело остается в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до момента, пока сторонние силы не подействуют на это тело, выведя его из данного состояния. Данная способность тела именуется инертностью. Это одно из базовых свойств материи.
Аксиома II - третий закон Ньютона (аксиома взаимодействия). Когда одно тело воздействует на другое с определенной силой, то второе тело вместе с первым будет действовать на него с определенной силой, которая равна по модулю, противоположна по направлению.
Аксиома III - условие равновесия двух сил. Чтобы получить равновесие свободного тела, которое находится под влиянием двух сил, достаточно, чтобы данные силы были одинаковы по своему модулю и противоположны по направлению. Это также связано со следующим пунктом и входит в основные понятия и аксиомы статики, равновесие системы сходящих сил.
Аксиома IV. Равновесие не будет нарушено, если к твердому телу приложить или удалить уравновешенную систему сил.
Аксиома V - аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

Связи и их реакции

В теоретической механике материальной точке, системе и твердому телу может быть дано два определения: свободное и несвободное. Различия между этими словами состоят в том, что если на перемещение точки, тела или системы не налагаются заранее указанные ограничения, то данные объекты будут по определению свободными. В обратной ситуации объекты принято называть несвободными.

Физические обстоятельства, приводящие к ограничению свободы названных материальных объектов, именуются связями. В статике могут иметься простейшие связи, выполняемые разными твердыми или гибкими телами. Сила действия связи на точку, систему или тело именуется реакцией связи.

Виды связей и их реакции

В обычной жизни связь может быть представлена нитями, шнурками, цепями или верёвками. В механике за данное определения принимают невесомые, гибкие и нерастяжимые связи. Реакции соответственно могут быть направлены по нити, веревке. При этом имеют место связи, линии действия которых нельзя определить сразу. В качестве примера основных понятий и аксиомы статикиможно привести неподвижный цилиндрический шарнир.

В его состав входит неподвижный цилиндрический болт, на который надета втулка с цилиндрическим отверстием, диаметр которого не превышает величины болта. При скреплении тела с втулкой первое сможет вращаться лишь по оси шарнира. В идеальном шарнире (при условии пренебрежения трения поверхности втулки и болта) появляется преграда для смещения втулки по направлению, перпендикулярному поверхности болта и втулки. В связи с этим реакция в идеальном шарнире имеет направлении по нормали - радиусу болта. Под влиянием действующих сил втулка способна прижиматься к болту в произвольной точке. В связи с этим направление реакции у неподвижного цилиндрического шарнира заранее определить невозможно. По этой реакции может быть известно лишь ее расположение в плоскости, перпендикулярной к шарнирной оси.

Во время решения задач реакция шарнира будет устанавливаться аналитическим методом путём разложения вектора. Основные понятия и аксиомы статики включают данный способ. Значения проекций реакции вычисляется из уравнений равновесия. Так же поступают в иных ситуациях, включающих невозможность определения направления реакции связи.

Система сходящихся сил

В число основных определений можно включить систему сил, которые сходятся. Так называемой системой сходящихся сил будет называться система, линии действия в которой пересекаются в единственной точке. Данная система приводит к равнодействующей или пребывает в состоянии равновесия. Учитывается данная система и в ранее указанных аксиомах, поскольку связана с сохранением равновесия тела, о чем говорится сразу в нескольких положениях. Последние указывают как на причины, необходимые для создания равновесия, так и на факторы, которые не вызовут изменения данного состояния. Равнодействующая данной системы сходящийся силы равняется векторной сумме названных сил.

Равновесие системы

В основные понятия и аксиомы статики система сходящихся сил также включается при изучении. Для нахождения системы в равновесии механическим условием становится нулевое значение равнодействующей силы. Поскольку векторная сумма сил нулевая, то многоугольник считается замкнутым.

В аналитическом виде условие равновесия системы будет заключаться в следующем: пребывающая в равновесии пространственная система сходящихся сил будет иметь алгебраическую сумму проекций силы на каждую из осей координат, равной нулю. Поскольку в такой ситуации равновесия равнодействующая будет нулевой, то проекции на оси координат также будут нулевыми.

Момент силы

Под данным определением имеется в виду векторное произведение вектора точки приложения сил. Вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

Пара сил

Этим определением именуется система, состоящая из пары параллельных сил, одинаковых по величине, направленных в противоположные направления и приложенных к телу.

Момент пары сил может считаться положительным, если силы пары направлены против часовой стрелки в правосторонней системе координат, и отрицательным - направлены по направлению часовой стрелки в левой системе координат. При переводе от правой системы координат к левой ориентация сил меняется на противоположную. Минимальное значение расстояния среди линий действия сил именуется плечом. Из этого следует, что момент пары сил является свободным вектором, по модулю равняющимся М=Fh и имеющим перпендикулярно плоскости действия направление, что с вершины данного вектора силы были ориентированы положительно.

Равновесие в произвольных системах сил

Требуемым условием равновесия для произвольной пространственной системы сил, прилагаемой к твердому телу, считается обращение в нуль главного вектора и момента по отношению к любой точке пространства.

Из этого следует, что для достижения равновесия параллельных сил, располагаемых в одной плоскости, требуется и хватит того, что полученная сумма проекций сил на расположенную параллельно ось и алгебраическая сумма всех составляющих моментов, предоставленных сил относительно случайной точки, равняется нулю.

Центр тяжести у тела

Согласно закону всемирного тяготения, на каждую частицу, находящуюся поблизости от поверхности Земли, влияют силы притяжения, именуемыми силами тяжести. При небольших размерах тела во всех технических приложениях можно считать силы тяжести отдельных частиц тела системой практически параллельных сил. Если все силы тяжести частиц мы будем считать параллельными, то их равнодействующая будет численно равна сумме весов всех частиц, т. е. весу тела.

Предмет кинематики

Кинематикой именуется раздел из теоретической механики, который изучает механическое движение точки, системы точек и твердого тела в независимости от влияющих на них сил. Ньютон, исходя из материалистической позиции, считал объективным характер пространства и времени. Ньютон использовал определение абсолютного пространства и времени, но отделял их от перемещающейся материи, поэтому его можно назвать метафизиком. Диалектический материализм считает пространство и время объективными формами пребывания материи. Пространство и времени без материи не может существовать. В теоретической механике сказано, что пространство, включающее движущиеся тела, именуется трёхмерным эвклидовым пространством.

По сравнению с теоретической механикой, теория относительности основывается на иных представлениях о пространстве и времени. Помогло это возникновение новой геометрии, созданной Лобачевским. В отличие от Ньютона, Лобачевский не отделял пространство и время от видения, считая последнее изменением положения одних тел относительно других. В собственном произведении им было указано, что в природе человеком познается только движение, без коего чувственное представление становится невозможным. Из этого следует, что все прочие понятия, к примеру, геометрические, созданы разумом искусственно.

Из этого видно, что пространство рассматривается как проявление связи между перемещающими телами. Почти за век до возникновения теории относительности Лобачевский указал, что евклидова геометрия имеет отношение к абстрактным геометрически системам, тогда как в физическом мире пространственные взаимоотношения определяются физической геометрией, которая отличается от евклидовой, в которой свойства времени и пространства объединяются со свойствами материи, перемещающейся в пространстве и времени.

Не помешает заметить, что передовые ученые из России в области механики сознательно придерживались верных материалистических позиций в трактовке всех главных определений теоретической механики, в частности времени и пространства. При этом мнение о пространстве и времени в теории относительности сходны с представлениями о пространстве и времени сторонников марксизма, которые были созданы до возникновения работ о теории относительности.

При работе с теоретической механикой во время измерения пространства за главную единицу принимается метр, а за время - секунда. Время является одинаковым в каждой системе отсчета и находится вне зависимости от перемежения данных систем по отношению друг к другу. Время указывается символом и рассматривается в виде непрерывной изменчивой величины, используемой в роли аргумента. Во время измерения времени применяются определения промежутка времени, момента времени, начального времени, что входит в основные понятия и аксиомы статики.

Техническая механика

В практическом применении основные понятия и аксиомы статики и техническая механика связаны между собой. В технической механике изучается как сам механический процесс движения, так и возможность его использования в практических целях. К примеру, при создании технических и строительных конструкций и проверки их на прочность, что требует знать кратко основные понятия и аксиомы статики. При этом такое краткое изучение подойдет только любителям. В профильных учебных заведениях эта тема имеет немалую важность, к примеру, в случае с системой сил, основными понятиями и аксиомами статики.

В технической механике так же применяются приведенные выше аксиомы. К 1, основные понятия и аксиомы статики связаны с данным разделом. При том что в самой первой аксиоме объясняется принцип сохранения равновесия. В технической механике немаловажная роль отводится не только созданию приборов, но и при строительстве которых устойчивость и прочность являются основными критериями. Однако создать нечто подобное без знания базовых аксиом будет невозможно.

Общие замечания

К наиболее простым формам перемещения твердых тел относят поступательное и вращательное движение тела. В кинематике твердых тел при разных видах движений учитываются кинематические характеристики перемещения разных его точек. Вращательным движением тела вокруг неподвижной точки именуется такое движение, при котором прямая проходящая сквозь пару произвольных точек в процессе движения тела сохраняется в состоянии покоя. Данная прямая именуется осью вращения тел.

В тексте выше приводились кратко основные понятия и аксиомы статики. При этом существует большое количество сторонней информации, с помощью которой можно лучше узнать статику. Не стоит забывать базовые данные, в большинстве примеров основные понятия и аксиомы статики абсолютно твердое тело включают, поскольку это некий эталон для объекта, который может быть не достижим в нормальных условиях.

Затем следует вспомнить об аксиомах. К примеру, основные понятия и аксиомы статики, связи и их реакции входят в их число. Несмотря на то, что многие аксиомы лишь объясняют принцип сохранения равновесия или равномерного движения, это не отменяет их значимости. Начиная со школьного курса данные аксиомы и правила изучаются, поскольку являются всем известными законами Ньютона. Необходимость в их упоминании связана с практическим применением сведений статики и механики в целом. Примером послужила техническая механика, в которой, помимо создания механизмов, требуется понимать принцип конструирования устойчивых построек. Благодаря таким сведениям возможно правильное возведение обычных сооружений.

Основные понятия и аксиомы статики

Статика – учение о силах и условиях равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Сила – мера механического взаимодействия тел. Совокупность сил, действующих на абсолютно твердое тело, называется системой сил.

Абсолютно твёрдое тело - совокупность точек, расстояния между текущими положениями которых не изменяются, каким бы воздействиям данное тело ни подвергалось.

В статике решаются две задачи :

1. Сложение сил и приведение систем сил, действующих на тело к простейшему виду;

2. Определение условий равновесия действующих на тело систем сил.

Две системы сил называются эквивалентными , если они оказывают одинаковое механическое воздействие на тело.

Система сил называется уравновешенной (эквивалентной нулю), если она не изменяет механического состояния тела (то есть состояния покоя или движения по инерции).

Равнодействующей силой называется одна сила, если она существует, эквивалентная некоторой системе сил.

Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют сходящимися .

1. Аксиома о равновесии системы двух сил . Под действием двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.1).

Рисунок 1.1

2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю . Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не

изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил (т.е. эквивалентную нулю).

Имеем систему ; добавим 0

Получим { ; }.

Следствие: При переносе силы вдоль её линии действия, действие этой силы на тело не меняется. Из этого следствия вытекает, что сила приложенная к абсолютно твёрдому телу представляет собой скользящий вектор.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила (рис.1.2). К этой силе на ее линии действия в точке В в соответствии с аксиомой II добавим систему сил , эквивалентную нулю, для которой . Выберем силу , равную силе .

Рисунок 1.2

Полученная система трех сил эквивалентна, согласно аксиоме о добавлении равновесной системе сил, силе , то есть .

Система сил , согласно аксиоме 1, эквивалентна нулю, и согласно аксиоме 2 ее можно отбросить. Получится одна сила , приложенная в точке В , то есть . Окончательно получаем . Сила приложена в точке А . Она эквивалентна такой же по модулю и направлению силе , приложенной в точке В , где точка В – любая точка линии действия силы . Теорема доказана: действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль линии действия. Силу для твердого тела можно считать приложенной в любой точке линии действия, то есть сила – скользящий вектор. Как скользящий вектор сила характеризуется: численным значением (модулем) ; направлением силы ; положением линии действия силы на теле.

3.Аксиома параллелограмма сил. Две силы , приложенные в одной точке абсолютно твердого тела, имеют равнодействующую силу , приложенную в той же точке и равную геометрической (векторной) сумме этих сил (рис.1.3).

Рисунок 1.3

Следствие: Теорема о трех не параллельных силах: Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Рисунок. 1.4

Положим, что тело находится в равновесии под действием трех сил , 3 , приложенных в точках А, В, С (рис.1.4). По 3 аксиоме равнодействующая первых двух сил может быть найдена по правилу параллелограмма, построенного на силах 1 и 2, перенесенных вдоль линии их действия в точку О пересечения последних, т. е. . Согласно первой аксиоме статики для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы сила 3 была уравновешивающей двух первых сил. Это возможно только в том случае, когда силы и 3 лежат на одной прямой и имеют противоположные направления. Но тогда линии действия сил , 3 пересекутся в одной точке О. Любая из трех данных сил уравновешивает две другие. Выведенное условие равновесия трех не параллельных сил является необходимым, но не достаточным. Если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то отсюда вовсе не следует, что эти три силы представляют собой уравновешенную систему сил.

4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия. При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же численно, но противоположное по направлению противодействие (III закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как приложены к разным телам.

Рисунок 1.5

5. Аксиома о связях. Материальные объекты (тела и точки), которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого твердого тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется реакцией связи. Реакция связи направлена противоположно возможному перемещению тела. Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой или системой сил (в общем случае), то есть реакциями связи.

6. Аксиома затвердевания. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым). Если деформируемое тело находилось в равновесии, то оно будет находиться в равновесии и после его затвердевания.

Основные виды связей и их реакции

Приведем примеры связей для плоской системы сил и их замены силами реакций связей.

1. Гладкая поверхность (рис.1.6,а). Если тело опирается на идеально гладкую поверхность, то реакция поверхности направлена по нормали к общей касательной поверхностей тел в точке соприкосновения.

2. Подвижная шарнирная опора, подвижный шарнир – опора, поставленная на катки, не препятствующие перемещению тела параллельно опорной плоскости. Реакция подвижного шарнира направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки шарнира (рис.1.6,б).

а)

б)

3. Неподвижная шарнирная опора, неподвижный шарнир – совокупность неподвижного валика и надетой на него втулки с твердым телом, вращающимся вокруг оси (подшипник, петля). Реакция неподвижного шарнира проходит через ось валика, в неизвестном направлении, поэтому определяют две ее составляющие, направленные параллельно осям координат, перпендикулярных оси валика (рис. 1.6, в).

4. Жесткая заделка – жестко закрепленная балка, стержень. Связь препятствует любому движению конца балки. Для определения реакции жесткой заделки необходимо определить составляющие главного вектора R А, направленные параллельно осям координат и главный момент М А заделки (рис. 1.6, г).

5. Стержень – жесткий невесомый стержень, концы которого соединены с другими частями конструкции шарнирами. Реакция направлена по линии, проведенной через опорные шарниры стержня (рис. 1.6, д).

6. Гибкая связь – нить, цепь, трос. Реакция приложена к твердому телу в точке соприкосновения и направлена по связи (рис. 1.6, е).

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: .
Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
.
Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
.
Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна:
Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции

Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики

Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки

Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат.
Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела

В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела.
Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где .
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение: ;
нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела.
Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
.
Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои