V tomto tématu se budeme zabývat pojmem matice a také typy matic. Jelikož je v tomto tématu hodně pojmů, doplním souhrn pro snazší orientaci v materiálu.
Definice matice a jejího prvku. Notový zápis.
Matice je tabulka s $m$ řádky a $n$ sloupci. Prvky matice mohou být objekty zcela rozmanitého charakteru: čísla, proměnné, nebo například jiné matice. Například matice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ má 3 řádky a 2 sloupce; jeho prvky jsou celá čísla. Matice $\left(\begin(pole) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(pole) \right)$ obsahuje 2 řádky a 4 sloupce.
Různé způsoby zápisu matic: show\hide
Matici lze psát nejen do kulatých závorek, ale také do hranatých nebo dvojitých rovných závorek. Níže je stejná matice v různé notaci:
$$ \left(\begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right);\;\; \left[ \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right]; \;\; \left \Vert \begin(pole) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right \Vert $$
Je volán součin $m\krát n$ velikost matice. Pokud například matice obsahuje 5 řádků a 3 sloupce, pak se mluví o matici $5\krát 3$. Matice $\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(pole)\right)$ má velikost $3 \krát 2$.
Matice se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy: $A$, $B$, $C$ atd. Například $B=\left(\begin(pole) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(pole) \right)$. Číslování řádků jde shora dolů; sloupce - zleva doprava. Například první řádek matice $B$ obsahuje prvky 5 a 3 a druhý sloupec obsahuje prvky 3, -87, 0.
Prvky matic se obvykle označují malými písmeny. Například prvky matice $A$ jsou označeny $a_(ij)$. Dvojitý index $ij$ obsahuje informaci o pozici prvku v matici. Číslo $i$ je číslo řádku a číslo $j$ je číslo sloupce, v jehož průsečíku se nachází prvek $a_(ij)$. Například na průsečíku druhého řádku a pátého sloupce matice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(pole) \right)$ prvek $ a_(25)= 59 $:
Podobně na průsečíku prvního řádku a prvního sloupce máme prvek $a_(11)=51$; na průsečíku třetího řádku a druhého sloupce - prvek $a_(32)=-15$ a tak dále. Všimněte si, že $a_(32)$ se čte jako "tři dva", ale ne "třicet dva".
Pro zkrácené označení matice $A$, jejíž velikost je rovna $m\krát n$, se používá označení $A_(m\krát n)$. Často se používá následující zápis:
$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$
Zde $(a_(ij))$ označuje označení prvků matice $A$, tzn. říká, že prvky matice $A$ jsou označeny jako $a_(ij)$. V rozšířené podobě lze matici $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ zapsat následovně:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(pole) \right) $$
Zavedeme další termín - stejné matice.
Jsou volány dvě matice stejné velikosti $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ rovnat se pokud jsou jejich odpovídající prvky stejné, tzn. $a_(ij)=b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.
Vysvětlení položky $i=\overline(1,m)$: show\hide
Záznam "$i=\overline(1,m)$" znamená, že se parametr $i$ změní z 1 na m. Například záznam $i=\overline(1,5)$ říká, že parametr $i$ nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5.
Pro rovnost matic jsou tedy vyžadovány dvě podmínky: shoda velikostí a rovnost odpovídajících prvků. Například matice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ není rovna matici $B=\left(\ begin(pole)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(pole)\right)$ protože matice $A$ je $3\krát 2$ a matice $B$ je $2\krát 2$. Také matice $A$ není rovna matici $C=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(pole)\right) $ protože $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ale pro matici $F=\left(\begin(pole)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(pole)\right)$ můžeme bezpečně napsat $A =F$, protože jak velikosti, tak odpovídající prvky matic $A$ a $F$ se shodují.
Příklad #1
Určete velikost matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(pole) \vpravo)$. Určete, čemu se rovnají prvky $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Tato matice obsahuje 5 řádků a 3 sloupce, takže její velikost je $5\krát 3$. Pro tuto matici lze také použít zápis $A_(5\krát 3)$.
Prvek $a_(12)$ je v průsečíku prvního řádku a druhého sloupce, takže $a_(12)=-2$. Prvek $a_(33)$ je na průsečíku třetího řádku a třetího sloupce, takže $a_(33)=23$. Prvek $a_(43)$ je v průsečíku čtvrtého řádku a třetího sloupce, takže $a_(43)=-5$.
Odpovědět: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Typy matic v závislosti na jejich velikosti. Hlavní a boční úhlopříčky. Maticová stopa.
Nechť je dána nějaká matice $A_(m\krát n)$. Pokud $m=1$ (matice se skládá z jednoho řádku), pak se zavolá daná matice maticová řada. Pokud $n=1$ (matice se skládá z jednoho sloupce), pak se taková matice nazývá sloupcová matice. Například $\left(\begin(pole) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(pole) \right)$ je řádková matice a $\left(\begin(pole) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(pole) \right)$ - sloupcová matice.
Pokud podmínka $m\neq n$ platí pro matici $A_(m\krát n)$ (to znamená, že počet řádků není roven počtu sloupců), pak se často říká, že $A$ je obdélníková matice. Například matice $\left(\begin(pole) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ má velikost $2\krát 4 $, ty. obsahuje 2 řádky a 4 sloupce. Protože počet řádků není roven počtu sloupců, je tato matice obdélníková.
Pokud podmínka $m=n$ platí pro matici $A_(m\krát n)$ (tj. počet řádků se rovná počtu sloupců), pak se $A$ říká čtvercová matice objednávka $n$. Například $\left(\begin(pole) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(pole) \right)$ je čtvercová matice druhého řádu; $\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(pole) \right)$ je čtvercová matice 3. řádu. V obecný pohledčtvercovou matici $A_(n\krát n)$ lze zapsat následovně:
$$ A_(n\krát n)=\left(\begin(pole)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(pole) \right) $$
Prvky $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ jsou údajně zapnuté hlavní úhlopříčka matice $A_(n\krát n)$. Tyto prvky se nazývají hlavní diagonální prvky(nebo jen diagonální prvky). Prvky $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ jsou zapnuté boční (sekundární) úhlopříčka; se nazývají sekundární diagonální prvky. Například pro matici $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( pole) \right)$ máme:
Prvky $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ jsou hlavními diagonálními prvky; prvky $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ jsou sekundární diagonální prvky.
Součet hlavních diagonálních prvků se nazývá následuje matrice a označeno $\Tr A$ (nebo $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Například pro matici $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(pole)\vpravo)$ máme:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Pojem diagonálních prvků se používá i pro nečtvercové matice. Například pro matici $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(pole) \right)$ hlavní diagonální prvky budou $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Typy matic v závislosti na hodnotách jejich prvků.
Pokud jsou všechny prvky matice $A_(m\krát n)$ rovny nule, pak se taková matice nazývá nula a obvykle se označuje písmenem $O$. Například $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)$ jsou nulové matice.
Uvažujme nějaký nenulový řádek matice $A$, tzn. řetězec, který obsahuje alespoň jeden nenulový prvek. vedoucí prvek nenulového řetězce, říkejme mu první (počítáno zleva doprava) nenulový prvek. Zvažte například následující matici:
$$W=\left(\begin(pole)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(pole)\right)$ $
Ve druhém řádku bude vedoucí čtvrtý prvek, tzn. $w_(24)=12$ a ve třetím řádku bude vedoucím prvkem druhý prvek, tzn. $w_(32)=-9$.
Matice $A_(m\krát n)=\left(a_(ij)\right)$ se nazývá vykročil pokud splňuje dvě podmínky:
- Nulové řádky, pokud existují, jsou umístěny pod všemi nenulovými řádky.
- Počty vedoucích prvků nenulových řetězců tvoří přísně rostoucí posloupnost, tzn. pokud $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ jsou vedoucí prvky nenulových řádků matice $A$, pak $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt( k_r) $.
Příklady krokových matic:
$$ \left(\begin(pole)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole)\vpravo);\; \left(\begin(pole)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(pole)\right). $$
Pro srovnání: matice $Q=\left(\begin(pole)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ není kroková matice, protože je porušena druhá podmínka v definici krokové matice. Úvodní prvky ve druhém a třetím řádku $q_(24)=7$ a $q_(32)=10$ jsou očíslovány $k_2=4$ a $k_3=2$. Pro krokovou matici musí být splněna podmínka $k_2\lt(k_3)$, která je v tomto případě porušena. Všiml jsem si, že pokud prohodíme druhý a třetí řádek, dostaneme stupňovitou matici: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\konec (pole)\vpravo)$.
Nazývá se kroková matice lichoběžníkový nebo lichoběžníkový, pokud úvodní prvky $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ splňují podmínky $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, tj. diagonální prvky vedou. Obecně lze trapézovou matici zapsat takto:
$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(pole) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(pole)\right) $$
Příklady lichoběžníkových matric:
$$ \left(\begin(pole)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole)\vpravo);\; \left(\begin(pole)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(pole)\right). $$
Uveďme další definice pro čtvercové matice. Pokud jsou všechny prvky čtvercové matice umístěné pod hlavní diagonálou rovny nule, pak se taková matice nazývá horní trojúhelníková matrice. Například $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - horní trojúhelníková matice. Všimněte si, že definice horní trojúhelníkové matice neříká nic o hodnotách prvků umístěných nad hlavní diagonálou nebo na hlavní diagonále. Mohou a nemusí být nulové, na tom nezáleží. Například $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je také horní trojúhelníková matice.
Pokud jsou všechny prvky čtvercové matice umístěné nad hlavní diagonálou rovny nule, pak se taková matice nazývá spodní trojúhelníková matrice. Například $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(pole) \right)$ - spodní trojúhelníková matice. Všimněte si, že definice nižší trojúhelníkové matice neříká nic o hodnotách prvků pod nebo na hlavní diagonále. Mohou nebo nemusí být nulové, na tom nezáleží. Například $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ a $\left(\ begin (pole) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ jsou také nižší trojúhelníkové matice.
Čtvercová matice se nazývá úhlopříčka pokud jsou všechny prvky této matice, které nejsou na hlavní diagonále, rovny nule. Příklad: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ konec(pole)\vpravo)$. Prvky na hlavní diagonále mohou být cokoli (rovné nule nebo ne) - to není podstatné.
Diagonální matice se nazývá singl pokud jsou všechny prvky této matice umístěné na hlavní diagonále rovny 1. Například $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(pole)\vpravo)$ - matice identity 4. řádu; $\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole)\right)$ je matice identity druhého řádu.
Všimněte si, že prvky matice mohou být nejen čísla. Představte si, že popisujete knihy, které máte na poličce. Ať je vaše police v pořádku a všechny knihy stojí na přesně vymezených místech. Tabulka, která bude obsahovat popis vaší knihovny (podle polic a pořadí knih na poličce), bude zároveň matricí. Ale taková matice nebude číselná. Další příklad. Místo čísel existují různé funkce, které jsou mezi sebou spojeny určitou závislostí. Výsledná tabulka se také nazývá matice. Jinými slovy, Matrix je jakýkoli obdélníkový stůl složený z homogenní Prvky. Zde a níže budeme hovořit o maticích složených z čísel.
Místo závorek se matice zapisují pomocí hranatých závorek nebo rovných dvojitých svislých čar.
 |
(2.1*) |
Definice 2. Pokud ve výrazu(1) m = n, pak o tom mluví čtvercová matice, a pokud , něco o obdélníkový.
V závislosti na hodnotách m a n existují některé speciální typy matic:
Nejdůležitější charakteristika náměstí matrix je jeho determinant nebo determinant, který je složen z maticových prvků a je označen
Je zřejmé, že DE = 1; .
Definice 3. Li , pak matrice A volal nedegenerované nebo není zvláštní.
Definice 4. Li detA = 0, pak matrice A volal degenerovat nebo speciální.
Definice 5. Dvě matrice A A B volal rovnat se a piš A=B pokud mají stejné rozměry a jejich odpovídající prvky jsou stejné, tzn..
Například matice a jsou si rovny, protože mají stejnou velikost a každý prvek jedné matice se rovná odpovídajícímu prvku druhé matice. Ale matice nelze nazvat rovnocennými, ačkoli determinanty obou matic jsou stejné a rozměry matic jsou stejné, ale ne všechny prvky na stejných místech jsou stejné. Matrice jsou různé, protože mají různé velikosti. První matice je 2x3 a druhá 3x2. Počet prvků je sice stejný – 6 a samotné prvky jsou stejné 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale v každé matici jsou na různých místech. Ale matice a jsou si rovny, podle definice 5.
Definice 6. Pokud opravíme určitý počet sloupců matice A a stejný počet jeho řádků, pak prvky v průsečíku zadaných sloupců a řádků tvoří čtvercovou matici n- řádu, jehož determinant volal Méně důležitý k- matice řádu A.
Příklad. Vypište tři minory druhého řádu matice
Vstupenka 17:
Otázka 1: Definice paraboly. Odvození rovnice:
Definice. Parabola je množina bodů v rovině, z nichž každý je ve stejné vzdálenosti od daného bodu, nazývaného ohnisko, a od dané přímky, nazývané direktiva a neprochází ohniskem.
Umístíme počátek souřadnic doprostřed mezi ohnisko a směrovou přímku.
Hodnota p (vzdálenost od ohniska k přímce) se nazývá parametr paraboly. Odvodíme kanonickou rovnici paraboly.
Z geometrických vztahů: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 + xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
Rovnice přímé přímky: x = -p/2.
Otázka 2: Cauchyho věta:
Teorém: Nechť funkce a jsou diferencovatelné na intervalu a spojité pro a , navíc pro všechny . Pak je v intervalu bod takový, že
geometrický smysl : Tyto věty spočívají v tom, že uvnitř je bod t 0 , jehož sklony jsou vypočteny pomocí rovnosti:
Důkaz.
Nejprve to dokažme 
, tedy že zlomek na levé straně vzorce dává smysl. Pro tento rozdíl můžeme napsat vzorec pro konečné přírůstky:
u některých. Ale na pravé straně tohoto vzorce jsou oba faktory nenulové.
Abychom větu dokázali, zavedeme pomocnou funkci
Funkce je samozřejmě diferencovatelná pro všechny a spojitá v bodech a , protože funkce a mají tyto vlastnosti. Navíc je zřejmé, že pro , získáme . Pojďme si to ukázat a:
Funkce tedy splňuje podmínky Rolleovy věty o intervalu. Proto existuje bod takový, že .
Nyní vypočítáme derivaci funkce:
Chápeme to
odkud dostáváme tvrzení věty:
Komentář: Můžeme uvažovat funkce a souřadnice bodu pohybujícího se po rovině, která popisuje přímku spojující počáteční bod s koncovým bodem.(Pak rovnice a parametricky nastavíme nějakou závislost, jejímž grafem je přímka.)
5.6 Tětiva je rovnoběžná s nějakou tečnou ke křivce
Poměr, jak je dobře vidět z výkresu, pak nastavuje sklon tětivy spojující body a . Přitom podle vzorce pro derivaci funkce zadané parametricky máme: 
. Zlomek je tedy sklon tečny k přímce v určitém bodě 
. Výrok věty tedy z geometrického hlediska znamená, že na přímce je takový bod, že tečna nakreslená v tomto bodě je rovnoběžná s tětivou spojující krajní body přímky. Ale toto je stejné tvrzení, které tvořilo geometrický význam Lagrangeovy věty. Pouze v Lagrangeově větě byla přímka dána explicitní závislostí a v Cauchyově větě závislostí zadanou v parametrickém tvaru.
Vstupenka 18:
Otázka 1: Pojem matice. Maticová klasifikace:
Definice.
Matice o velikosti mn, kde m je počet řádků, n je počet sloupců, je tabulka čísel uspořádaná v určitém pořadí. Tato čísla se nazývají maticové prvky. Umístění každého prvku je jednoznačně určeno číslem řádku a sloupce, na jehož průsečíku se nachází. Prvky matice jsou označeny aij, kde i je číslo řádku a j je číslo sloupce. A = 
Maticové zařazení:.
Matice může mít jeden řádek nebo jeden sloupec. Obecně řečeno, matice může sestávat i z jednoho prvku.
Definice . Pokud je počet sloupců matice roven počtu řádků (m=n), pak se matice nazývá náměstí.
Definice
. Zobrazit matici: 
= E se nazývá matice identity.
Definice. Pokud amn = anm, pak se matice nazývá symetrická. Příklad. - symetrická matice
Definice
. Matice čtvercového pohledu 
volal diagonální matice
.
Otázka 2: Lagrangeova věta:
Teorém:
Nechť je funkce diferencovatelná na intervalu a spojitá v bodech a . Pak je tu bod takový, že 
Geometrický smysl:
Uveďme nejprve geometrickou ilustraci věty. Spojte koncové body grafu na segmentu tětivou. Konečné přírůstky a 
jsou délky ramen trojúhelníku, jehož přepona je tažená tětiva.
5.5 Tečna v určitém bodě je rovnoběžná s tětivou
Poměr konečných přírůstků a je tečnou sklonu tětivy. Věta říká, že ke grafu diferencovatelné funkce lze v určitém bodě nakreslit tečnu, která bude rovnoběžná s tětivou, to znamená, že sklon tečny () bude rovný úhlu sklon tětivy (). Ale přítomnost takové tečny je geometricky zřejmá.
Všimněte si, že nakreslená tětiva spojující body a je grafem lineární funkce. Protože sklon této lineární funkce je zjevně roven 
, Že 
Důkaz Lagrangeovy věty. Důkaz zredukujeme na aplikaci Rolleovy věty. K tomu zavádíme pomocnou funkci, tj.
všimněte si, že 
a (sestavením funkce ). Protože lineární funkce je diferencovatelná pro všechny , funkce tedy splňuje všechny vlastnosti uvedené v podmínce Rolleovy věty. Proto existuje takový bod, že Cheat Sheet Podle Filozofie: Odpovědi na vstupenky na zkoušky Cheat sheet >> Filosofie
Betlém Podle filozofie: odpovědi na písemné zkoušky... malířství, sochařství a architektura, práce Podle matematika, biologie, geologie, anatomie se věnují člověku ... sebekázeň, orientovat se v vyšší cíle. Hlavní myšlenky starověkého východního ...
Betlém Podle Logika: Odpovědi na vstupenky na zkoušky
Cheat sheet >> FilosofieValerij Vechkanov Betlém Podle logik Vladimír Eduardovič Vechkanov Betlém Podle logika: ... lidské myšlení. Fyziologie vyšší nervová aktivita odhaluje přirozeně... propoziční funkce je široce používána v matematika. Všechny rovnice s jednou...
Betlém Podle Ekonometrie (1)
Cheat sheet >> Ekonomikastatistika; ekonomické statistiky; vyšší matematika. Prostředek. příspěvek k rozvoji... Podle stupeň těsnosti Podle směr a Podle analytické zarovnání. Podle... změna v opačných směrech. Podle analytické zarovnání: - lineární vztahy...
Matice je speciální objekt v matematice. Zobrazuje se ve formě obdélníkové nebo čtvercové tabulky složené z určitého počtu řádků a sloupců. V matematice existuje široká škála typů matic, které se liší velikostí nebo obsahem. Čísla jeho řádků a sloupců se nazývají objednávky. Tyto objekty se používají v matematice k organizaci zápisu systémů lineární rovnice a snadné vyhledávání jejich výsledků. Rovnice pomocí matice jsou řešeny metodou Carla Gausse, Gabriela Cramera, vedlejšími a algebraickými sčítáními a mnoha dalšími způsoby. Základní dovedností při práci s maticemi je redukovat na Nejprve si však ujasněme, jaké typy matic rozlišují matematici.
Nulový typ
Všechny složky tohoto druhu matice jsou nuly. Mezitím je počet jeho řádků a sloupců naprosto odlišný.
čtvercového typu
Počet sloupců a řádků tohoto typu matice je stejný. Jinými slovy, je to stůl "čtvercového" tvaru. Počet jeho sloupců (nebo řádků) se nazývá pořadí. Speciálními případy jsou existence matice druhého řádu (matice 2x2), čtvrtého řádu (4x4), desátého (10x10), sedmnáctého (17x17) a tak dále.
Vektor sloupce
Jedná se o jeden z nejjednodušších typů matic, který obsahuje pouze jeden sloupec, který obsahuje tři číselné hodnoty. Představuje řadu volných členů (čísel nezávislých na proměnných) v soustavách lineárních rovnic.
Pohled podobný předchozímu. Skládá se ze tří číselných prvků, které jsou postupně uspořádány do jednoho řádku.
Diagonální typ
Číselné hodnoty v diagonálním tvaru matice berou pouze složky hlavní úhlopříčky (zvýrazněné v zeleném). Hlavní úhlopříčka začíná od prvku umístěného v levém horním rohu a končí prvkem v pravém dolním, resp. Zbytek složek je nulový. Diagonální typ je pouze čtvercová matice určitého řádu. Mezi maticemi diagonální formy lze vyčlenit skalární. Všechny jeho součásti nabývají stejných hodnot.
Poddruh diagonální matrice. Všechny jeho číselné hodnoty jsou jednotky. Pomocí jednoho typu maticových tabulek se provedou její základní transformace nebo se najde matice, která je inverzní k té původní.
Kanonický typ
Kanonická forma matice je považována za jednu z hlavních; odlévání do něj je často potřeba k práci. Počet řádků a sloupců v kanonické matici je různý, nemusí nutně patřit do čtvercového typu. Je do jisté míry podobná identitní matici, nicméně v jejím případě nenabývají všechny složky hlavní diagonály hodnoty rovné jedné. Mohou existovat dvě nebo čtyři hlavní diagonální jednotky (vše závisí na délce a šířce matice). Nebo tam nemusí být vůbec žádné jednotky (pak se to považuje za nulu). Zbývající složky kanonického typu, stejně jako prvky typu úhlopříčka a jednotky, jsou rovny nule.
trojúhelníkového typu
Jeden z nejdůležitějších typů matice používaný při hledání jejího determinantu a při provádění jednoduchých operací. Trojúhelníkový typ pochází z diagonálního typu, takže matice je také čtvercová. Trojúhelníkový pohled na matici je rozdělen na horní trojúhelníkový a dolní trojúhelníkový.
V horní trojúhelníkové matici (obr. 1) nabývají hodnoty rovné nule pouze prvky, které jsou nad hlavní diagonálou. Složky samotné úhlopříčky a část matice pod ní obsahují číselné hodnoty.
Ve spodní trojúhelníkové matici (obr. 2) jsou naopak prvky umístěné ve spodní části matice rovny nule.
Formulář je nezbytný pro zjištění hodnosti matice i pro elementární operace s ní (spolu s trojúhelníkovým typem). Kroková matice je tak pojmenována, protože obsahuje charakteristické "kroky" nul (jak je znázorněno na obrázku). Ve stupňovitém typu se vytvoří úhlopříčka nul (ne nutně hlavní) a všechny prvky pod touto úhlopříčkou mají také hodnoty rovné nule. Předpokladem je následující: pokud je v matici kroků nulový řádek, pak zbývající řádky pod ním také neobsahují číselné hodnoty.
Zvážili jsme tedy nejdůležitější typy matic potřebných pro práci s nimi. Nyní se pojďme zabývat úkolem převést matici do požadované podoby.
Redukce na trojúhelníkový tvar
Jak přivést matrici do trojúhelníkového tvaru? Nejčastěji v úkolech potřebujete převést matici do trojúhelníkového tvaru, abyste našli její determinant, jinak nazývaný determinant. Při provádění tohoto postupu je nesmírně důležité „zachovat“ hlavní úhlopříčku matice, protože determinant trojúhelníkové matice je přesně součinem složek její hlavní úhlopříčky. Dovolte mi také připomenout alternativní metody hledání determinantu. Čtvercový determinant se nachází pomocí speciálních vzorců. Můžete například použít metodu trojúhelníku. Pro ostatní matice se používá metoda rozkladu podle řádků, sloupců nebo jejich prvků. Můžete také použít metodu mollů a algebraických doplňků matice.
Pojďme si podrobně rozebrat proces převedení matice do trojúhelníkového tvaru na příkladech některých úloh.
Cvičení 1
Je nutné najít determinant prezentované matice pomocí metody jejího uvedení do trojúhelníkového tvaru.
Matice, která nám byla dána, je čtvercová matice třetího řádu. Proto, abychom jej převedli do trojúhelníkového tvaru, potřebujeme zmizet dvě složky prvního sloupce a jednu složku druhého.
Abychom jej dostali do trojúhelníkového tvaru, zahájíme transformaci od levého dolního rohu matice - od čísla 6. Abychom ji vynulovali, vynásobíme první řádek třemi a odečteme od posledního řádku.
Důležité! Horní řádek se nemění, ale zůstává stejný jako v původní matici. Nemusíte psát řetězec čtyřikrát oproti původnímu. Ale hodnoty řádků, jejichž komponenty je třeba nastavit na nulu, se neustále mění.
Zůstává pouze poslední hodnota - prvek třetího řádku druhého sloupce. Toto je číslo (-1). Chcete-li jej vynulovat, odečtěte druhý od prvního řádku.
Pojďme zkontrolovat:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Proto odpověď na úlohu: -22.
Úkol 2
Je nutné najít determinant matice jejím převedením do trojúhelníkového tvaru.
Prezentovaná matice patří ke čtvercovému typu a je maticí čtvrtého řádu. To znamená, že je nutné odstranit tři složky prvního sloupce, dvě složky druhého sloupce a jednu složku třetího.
Začněme jej odlévat z prvku umístěného v levém dolním rohu - od čísla 4. Toto číslo musíme otočit na nulu. Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je vynásobit horní řadu čtyřmi a poté ji odečíst od čtvrté řady. Zapišme si výsledek první fáze transformace.
Takže složka čtvrtého řádku je nastavena na nulu. Přejdeme k prvnímu prvku třetího řádku, k číslu 3. Provedeme podobnou operaci. První řádek vynásobte třemi, odečtěte od třetího řádku a napište výsledek.
Podařilo se nám vynulovat všechny složky prvního sloupce této čtvercové matice, s výjimkou čísla 1, prvku hlavní diagonály, který nevyžaduje transformaci. Nyní je důležité zachovat výsledné nuly, budeme tedy provádět transformace s řádky, nikoli sloupci. Přejděme k druhému sloupci prezentované matice.
Začneme opět odspodu – od prvku druhého sloupce posledního řádku. Toto je číslo (-7). V tomto případě je však výhodnější začít s číslem (-1) - prvkem druhého sloupce třetího řádku. Chcete-li jej vynulovat, odečtěte druhý řádek od třetího řádku. Poté vynásobíme druhou řadu sedmi a odečteme ji od čtvrté. Místo prvku umístěného ve čtvrtém řádku druhého sloupce jsme dostali nulu. Nyní se přesuneme do třetího sloupce.
V tomto sloupci potřebujeme vynulovat pouze jedno číslo - 4. To je snadné: stačí přidat třetí do posledního řádku a vidět nulu, kterou potřebujeme.
Po všech transformacích jsme navrhovanou matici převedli do trojúhelníkového tvaru. Nyní, abyste našli její determinant, stačí vynásobit výsledné prvky hlavní diagonály. Dostaneme: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Řešením je tedy číslo 160.
Nyní vám tedy otázka převedení matrice do trojúhelníkového tvaru nebude dělat potíže.
Redukce na stupňovitou formu
Pro elementární operace s maticemi je stupňovitá forma méně "nárokovaná" než trojúhelníková. Nejčastěji se používá k nalezení hodnosti matice (tj. počtu jejích nenulových řádků) nebo k určení lineárně závislých a nezávislých řádků. Stupňovitý pohled na matrici je však univerzálnější, protože se hodí nejen pro čtvercový typ, ale pro všechny ostatní.
Chcete-li matici redukovat na stupňovitou formu, musíte nejprve najít její determinant. K tomu jsou vhodné výše uvedené metody. Účelem nalezení determinantu je zjistit, zda jej lze převést na stupňovou matici. Pokud je determinant větší nebo menší než nula, můžete bezpečně přejít k úloze. Pokud se rovná nule, nebude fungovat zmenšení matice do stupňovité formy. V tomto případě je třeba zkontrolovat, zda nejsou v záznamu nebo v transformacích matice nějaké chyby. Pokud takové nepřesnosti neexistují, nelze úlohu vyřešit.
Uvažujme, jak převést matici do stupňovité podoby na příkladech několika úloh.
Cvičení 1. Najděte pořadí dané maticové tabulky.
Před námi je čtvercová matice třetího řádu (3x3). Víme, že pro nalezení hodnosti je nutné ji zredukovat na stupňovitou formu. Nejprve tedy musíme najít determinant matice. Použijeme trojúhelníkovou metodu: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Determinant = 12. Je větší než nula, což znamená, že matici lze redukovat do stupňovitého tvaru. Začněme to transformovat.
Začneme prvkem levého sloupce třetího řádku - číslem 2. Horní řádek vynásobíme dvěma a odečteme od třetího. Díky této operaci se prvek, který potřebujeme, i číslo 4 - prvek druhého sloupce třetího řádku - změnily na nulu.
Vidíme, že v důsledku redukce vznikla trojúhelníková matice. V našem případě transformace nemůže pokračovat, protože zbývající složky nelze vynulovat.
Došli jsme tedy k závěru, že počet řádků obsahujících číselné hodnoty v této matici (nebo její pořadí) je 3. Odpověď na úkol: 3.
Úkol 2. Určete počet lineárně nezávislých řádků dané matice.
Potřebujeme najít takové řetězce, které nelze žádnými transformacemi převést na nulu. Ve skutečnosti potřebujeme najít počet nenulových řádků nebo hodnost reprezentované matice. Abychom to udělali, pojďme to zjednodušit.
Vidíme matici, která nepatří do čtvercového typu. Má rozměry 3x4. Začněme odlévání také od prvku levého dolního rohu - čísla (-1).
Další transformace nejsou možné. Došli jsme tedy k závěru, že počet lineárně nezávislých čar v něm a odpověď na úlohu jsou 3.
Převedení matrice do stupňovité podoby pro vás nyní není nemožným úkolem.
Na příkladech těchto úloh jsme analyzovali redukci matice na trojúhelníkový tvar a stupňovitý tvar. Aby bylo možné vynulovat požadované hodnoty maticových tabulek, je v některých případech nutné ukázat představivost a správně transformovat jejich sloupce nebo řádky. Hodně štěstí v matematice a v práci s maticemi!
I když vědci obvykle klasifikaci označují jako prostředek k předpovědi třídy „neznámých“ objektů, můžeme ji použít i k testování přesnosti klasifikačních postupů. K tomu vezmeme „známé“ objekty (které jsme použili při odvozování klasifikačních funkcí) a aplikujeme na ně klasifikační pravidla. Podíl správně klasifikovaných objektů vypovídá o přesnosti postupu a nepřímo potvrzuje míru separace tříd. Lze sestavit tabulku nebo "klasifikační matici" popisující výsledky. To nám pomůže zjistit, které chyby se dělají častěji.
Tabulka 12. Klasifikační matice
Tabulka 12 je klasifikační matice pro údaje o hlasování v Senátu. Bardesových šest proměnných správně předpovídá frakční rozdělení všech senátorů (kromě Capeharta), jejichž frakční příslušnost je „známá“. Přesnost predikce je v tomto případě 94,7 % (součet správných předpovědí je 18 děleno celkovým počtem „známých“ objektů). Také vidíme, že chyby v tomto příkladu jsou způsobeny špatným oddělením skupin 1 a 4. Ve spodním řádku tabulky. 12 ukazuje rozdělení podle skupin "neznámých" objektů. To jsou senátoři, jejichž frakční příslušnost Bardesová nedokázala určit z údajů, které měla. Jejím hlavním cílem bylo pomocí diskriminační analýzy klasifikovat pozice těchto senátorů na základě jejich hlasování, poté pokračovala ve zkoumání postoje Senátu k různým variantám zahraniční pomoci.
Procento „známých“ objektů, které byly klasifikovány správně, je dalším měřítkem rozdílů mezi skupinami. Použijeme ji spolu s Wilksovou obecnou L-statistikou a kanonickými korelacemi k označení množství diskriminačních informací obsažených v proměnných. Jako přímé měřítko přesnosti předpovědi je toto procento nejvhodnějším měřítkem diskriminační informace. Hodnotu procenta lze však posuzovat pouze podle očekávaného procenta správných klasifikací, když rozdělení do tříd bylo provedeno náhodně. Pokud existují dvě třídy, pak při náhodné klasifikaci lze očekávat 50% správných předpovědí. U čtyř tříd je očekávaná přesnost pouze 25 %. Pokud pro dvě třídy postup klasifikace poskytuje 60 % správných předpovědí, pak je jeho účinnost poměrně nízká, ale pro čtyři třídy stejný výsledek ukazuje na významnou účinnost, protože náhodná klasifikace by poskytla pouze 25 % správných předpovědí. Tím se dostáváme ke statistice -error, která bude standardizovaným měřítkem výkonu pro libovolný počet tříd:
kde je počet správně klasifikovaných objektů a je apriorní pravděpodobnost příslušnosti ke třídě.
Výraz představuje počet objektů, které budou správně předpovězeny jejich náhodnou klasifikací do tříd v poměru k apriorní pravděpodobnosti. Pokud jsou všechny třídy považovány za stejné, předpokládá se, že předchozí pravděpodobnosti jsou rovné jedné dělené počtem tříd. Maximální hodnota -statistiky je 1 a je jí dosaženo v případě bezchybné predikce. Nulová hodnota indikuje neefektivnost postupu, - statistika může nabývat i záporných hodnot, což ukazuje na špatnou diskriminaci nebo degenerovaný případ. Protože to musí být celé číslo, čitatel se může stát záporným čistě náhodou, když mezi třídami nejsou žádné rozdíly.
